A(ssociation) M(athématique) (du) Q(uébec) 06-07-08

Vous vous croyez supérieurs en math (comme moi?! ), eh bien voici quelque chose qui pourrait vous faire douter (si vous êtes de mon âge (15-17 ans)).
P.S. 3 heures en total pour réaliser chaque épreuve (donc un total de 9 heures de math INTENSE!).
P.S. Pas le droit à la calculatrice pour 06 et 07

AMQ 2006:

1. Un carré magique particulier
Il est bien connu qu'un carré magique est obtenu en mettant des nombres dans un carré de telle sorte que la somme de chaque ligne, colonne et diagonale soit la même, comme par exemple,
8-1-6
3-5-7
4-9-2
Imaginons maintenant que nous décidions d'inventer une nouvelle forme de tel carré, en remplaçant la somme par le produit. On demande de trouver un tel carré en remplaçant les astérisques, *, par des nombres naturels, non nécessairement distincts ou consécutifs, dans le carré suivant :
*-1-*
4-*-*
*-*-2

2. La promenade de Clovis
Clovis aime se promener parmi les entiers naturels. Chaque jour, il commence avec un nombre naturel de son choix, le plus grand possible. Puis, durant la journée, il passe de nombre en nombre selon la règle suivante.En supposant que sa suite en est au nombre n:
1- Si n est divisible par 3 sans reste, alors le nombre suivant sera n/3.
2- Si le reste de la division de n par 3 est 1, alors le nombre suivant est 2n+1.
3- Si le reste de la division de n par 3 est 2, alors le nombre suivant est 2n-1.
4- Si n=1, la suite s'arrête.
Depuis des années qu'il joue à ce jeu, il a constaté que, quel que soit le nombre de départ, la sérieu aboutissait toujours à 1. Il se demande s'il existe une série qui cro¸it indéfiniment, avec en moyenne des nombres de plus en plus grands, ou alors une série cyclique qui ne contient pas le nombre 1.
Dites si une telle série est possible, et donnez-en un exemple, ou alors montrez qu'une telle série n'existe pas, et pour cela démontrez que toutes les suites construites de cette façon mèneront inévitablement au nombre 1.
Voici un exemple d'une telle série: en commençant avec 55, on obtient 111, 37, 75, 25, 51, 17, 33, 11, 21, 7, 15, 5, 9, 3 et 1, ce qui termine la série.

3. Huit boules dans deux urnes
On vous confie deux urnes semblables, quatre boules blanches et quatre boules noires. Vous devez répartir les boules entre les deux urnes (pas nécessairement le même nombre dans chaque urne). On rendra ensuite les deux urnes indiscernables. Quelle répartition devez-vous choisir pour maximiser vos chances, en tirant une boule au hasard, d'en obtenir une blanche?

4. Les trois tonneaux attachés
Trois gros tonneaux cylindriques, couchés parallèlement sur le sol, sont attachés par un câble d'acier à leurs points de contact, A et B, de façon à ce qu'ils demeurent bien en place. Sachant que les deux plus petits ont chacun rayon de 4 mètres et que le plus gros, au centre, a un rayon de 9 mètre, quelle est la longueur du câble d'acier?


5. Les mots magiques
Un illusionniste est à la recherche de mots magiques pour accompagner ses divers tours de magie. Il décide de construire ses mots magiques en partant du diagramme suivant.

Il parcourt un chemin dans le diagramme et note les lettres rencontrées. Chaque mot magique doit contenir exactement 11 lettres et doit débuter et se terminer par la lettre A.
Deux lettres consécutives ne doivent jamais être identiques. Combien y a-t-il de tels mots magiques?
Note : Voici deux mots magiques possibles ABRACADABRA et ARADCABARBA

6. Tous les dix chiffres
Trouver le plus petit entier positif N tel que, dans la notation décimale, N et 2N utilisent ensemble tous les dix chiffres: 0, 1, 2, ..., 8, 9.

7. Les garnitures de pizza
À la pizzeria de Julio, toutes les pizza comportent du fromage et de la sauce tomate. Le choix de garnitures se limite aux olives noires, aux anchois et au saucisson. Sur les 200 clients que Julio a reçus hier, 40 ont pris des anchois, 80 des olives noires et 120 du saucisson, 60 ont pris à la fois des olives noires et du saucisson, mais aucun n'a pris à la fois des anchois et des olives noires, ni à la fois des anchois et du saucisson. Combien de clients n'ont pris aucune des trois garnitures?


AMQ 2007:

1. Les trois triangles
Trois droites concourantes sont jointes pour former trois triangles, comme dans la figure ci-contre. Calculer la somme des angles a, b, c, d, e et f.


2. Les deux polygones réguliers
Deux polygones réguliers ont un total de dix-sept sommets et de cinquante-trois diagonales. Calculer le nombre des sommets de chacun des deux polygones.

3. L'abdomen de Jean
Après un bon repas, l'abdomen de Jean a pris de l'expansion. Comme Jean est mathématicien, il s'amuse, en sirotant son digestif, à résoudre l'alphamétique
JEAN X JEAN = ABDOMEN
Il constate avec ravissement que JEAN correspond à son année de naissance! QUelle était cette année bénie? (Résoudre un alphamétique signifie associer différents chiffres de 0 à 9 aux différentes lettres de sorte que l'équation formée par les nombres induits par les lettres correspondantes soit vraie. Par exemple, A=2, S=4, R=5, O=7 et I=6 est une solution de AS x AS = ROI, puisque 24x24=576).

4. Des chiffres 1 dans le cube
Le cube de 345 est 345^3 = 345 x 345 x 345 = 41 063 625, un nombre qui se termine par 625.
Trouver le plus petit nombre dont le cube se termine par 111.

5. Les problèmes faciles
André, Bernard et Cécile s'amusaient à résoudre des problèmes de géométrie. André en a résolu 65, Bernard 75 et Cécile 80. À eux trois, ils en ont résolu en tout 120.
Appelons facile un problème qu'ils ont tous résolu et difficile celui qu'un seul des trois a résolu. Combien de problèmes faciles y avait-il de plus que de problèmes difficiles?

6. Division par 9
Calculer le reste de la division de 8^2007 par 9. Répéter ce calcul pour 8^2008.

7. Le fabricant d'abat-jours
Monsieur A. Bajour fabrique des abat-jours ayant la forme d'une pyramide tronquée à base carrée (voir 1ère figure). Les trapèzes isocèles formant la surface de ses abat-jours ont les dimensions, en cm, données dans la seconde figure. Chaque abat-jour doit être expédié dans une boîte ayant la forme d'un prisme droit à base carrée qui soit la plus petite possible. Quelle est l'aire totale d'une telle boîte?
Note: la pyramide doit être déposée dans la boîte de façon à ce que sa base touche le fond de la boîte.

Soumettez vos réponses et je vous enverrai le solutionnaire par message privé.
P.S. La version de cette année arrive sous peu... c'est justement cette année que j'ai participé, quelle coïcidence! C'est pourquoi j'apprécierais GRANDEMENT que vous me soumettiez vos réponses et démarches pour la version 2008.

Oh! et biensûr :
Tout droit réservé, L'Association Mathématique du Québec, 2006-2007-2008

Un p'ti up... j'trouve ça malheureux que personne s'intéresse à ça C'est pourtant votre genre (il me semble...).

Bon ok:-). -1 et 1 pour le 6.

Ben alors, tu voulais une réponse ou non?:-). Pourquoi ne dis-tu plus rien??

Bah, y faut que je cherche le solutionnaire