DM de maths : Les fonctions

Bonjour !

J'ai quelques petits problèmes avec mon DM de mathématiques. Si vous pouvez m'aider ça serait vraiment cool.

Exercice :
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= -x²-4x+1
1) A l'aide de la calculatrice, conjecturer l'existence d'un minimum de f.
2) Le démontrer.

J'ai étudié la question avec mes amis nous en sommes arrivés à la conclusion qu'il n'y a pas de minimum. Mais nous ne sommes pas sûr que ce soit la bonne réponse et nous ne savons pas le démontrer.

Merci d'avance. =)

Salut et bienvenue !

1) D'après la question, il y a un minimum. Mais en effet, la fonction n'en n'admet pas. Es-tu sûre qu'il s'agit de minimum et pas de maximum ? Ou alors, il n'y a pas de moins devant le x².

C'est bizarre...

En effet, c'est bizarre, mais une amie a demandé à mon professeur, et on lui a répondu qu'il n'y a pas de minimum et qu'il fallait le démontrer. Or on ne sait pas comment le faire.

Merci de m'aider.

Ah OK !

Alors, il suffit d'étudier la limite en +oo ou en -oo pour le prouver par exemple.

Comment ça ? Désolé mais je n'ai pas encore vu ça alors je sais pas trop comment faire . =S

D'après mon bon vieux cours de 1ere S(^^)

Soit f une fonction définie sur un intervalle I

f admet un maximum M pour x=a si pour tous réels de I f(x) M
f admet un minimum m pour x=b si pour tous réels de I f(x) m

Je ne sais pas si vous pourrez en tirer quelque chose :/

Je suis d'accord, avec toi Noova mais je ne suis pas sûre on plus que cela puisse débloquer le problème.
En plus la prof de maths ne nous explique pas hyper bien donc on est un peu perdus ... =/

Ah, tu ne connais pas les limites. J'imagine que tu ne connais pas non plus les dérivées. Tout ça, tu vas l'apprendre prochainement.

Sais tu calculer le sommet d'une parabole ?

Pour les limites et les dérivés non je ne connais pas et il en est de même pour le calcul du sommet d'une parabole, malheureusement. Désolé

Ca n'y est pas dans ton cours ou dans ton livre ?

Alors, j'ai regarder dans le bouquin, et il explique comment trouver le sommet, il faut que je regarde ça de plus près. Mais en fait une parabole peut-elle avoir un minimum, il ne le dise pas dans mon livre ??

Ca dépend du signe du coefficient de x². S'il est positif, il y a un minimum, sinon il y a un maximum.

Donc là, ce que je te propose, c'est de calculer le sommet de la parabole. Et-tu d'accord pour dire que le sommet est OU un maximum, OU un minimum ? Si oui, tu calcules un autre point au hasard de la parabole. Et là, tu pourras conclure...

Alors je dirais que tout d'abord le coefficient de x² est négatif : -1.
Ensuite pour calculer l'abscisse du sommet je dois faire :
-(b/2a)
= -(-4/2*(-1))
= -(-4/(-2))
= 2

Et pour l'ordonnée :
f(-(b/2a))
= f(2)
= -2²-4*2+1
= -4-8+1
= -11
[ mais c'est pas le résultat donné par la calculette sur le graphique ]

Donc le maximum serait x=-2 et y=-11 [ pas sûr du -11 ]

Et ensuite un autre point par exemple x=1
On a : -1²-4*1+1
= -4

C'est bien ça ?

Tu t'es trompée pour le sommet, c'est pour ça que tu trouves des choses bizarres.

C'est -2 que tu dois trouver pour -b/2a.

Effectivement j'ai oublié le (-) !

Mais je ne sais pas vraiment comment je dois conclure.

OK. Donc tu calcules l'image de ce point. Tu vas obtenir un certain nombre S (comme sommet).

Ensuite, soit c'est un minimum, soit c'est un maximum.

Si tu calcules une autre image à partir d'une autre abscisse, tu vas trouver un nombre que tu pourras comparer à S pour conclure.

Donc si je prends comme précédemment x=1 et que j'ai trouvé f(x)=-4.
Et que le sommet est de x=-2 et y=5 [ j'ai recalculer y avec le (-) devant le 2 ].

Alors j'en déduit que mon point pris au hasard est inférieur à mon sommet et que donc mon sommet est le maximum de la fonction f(x). Donc il ne peut y avoir de minimum.

C'est bien ça ?

Absolument. (Je n'ai pas vérifié les valeurs, mais le raisonnement est juste).

Mercii beaucoup de ton aide !!
C'est vraiment sympa !
Bonne soirée !

Bonne soirée.