dm limites et dérivation

Bonsoir à tous


J'ai un dm à faire pour lundi et je sollicite votre aide pour le réussir afin de me rattraper.


voici l'exercice


Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=-x(puissance 3)+5x/x²+3


Et C sa courbe représentative dans un repère (o;i;j) d'unité 1cm.


1) Déterminer les réels a et b tels que pour tout x appartient à R.


f(x)=ax+bx/x²+3


b) Montrer que f est impaire.Que peut-on en déduire pour C?


2) Etudier les limites de f en +infini et -infini


b) Après avoir déterminer l'ensemble de dérivabilité, calculer f'(x) et montrer que:


f'(x)=(x²+15)(1-x²)/(x²+3)²




c) Etudier les variations de f, puis dresser son tableau de variation.


3) Soit D la droite d'équation y=-x. Montrer que D est asymptote oblique à C en +infini et -infini


Etudier la position relative de D et C.


4) Soit T la tangente à C au point d'abscisse 0.

Donner l'équation de T

Etudier la position relative de C et T.


5) Construire D,T et C.Préciser les coordonnées des points d'intersection avec l'axe des abscisses.





Pour la 1ère question j'ai trouvé


f(x)=ax+bx/x²+3=ax(x²+3)/x²+3+b/x²+3=ax(puissance 3)+(3a+b)x/x²+3


par identification :


a=-1

-3+b=5


a=-1

b=5+3


a=-1

b=8


on a donc : f(x)=-x+8x/x²+3



MERCI D'AVANCE POUR VOTRE AIDE CAR J'EN AI VRAIMENT BESOIN!

Salut,

il faudrait que tu édites ton message pour rajouter les parenthèses là où il en faut parce que sinon, c'est difficile à lire...

Coucou Lily,

Je vais tenter de répondre à ton devoir;

f(x)= (-x^3 + 5x)/(x²+3) = - x(x²-5)/(x²+3)

1) pour savoir si f est paire ou impaire, il faut calculer f(-x):

si f(-x) = f(x) alors f est paire
si f(-x) = -f(x) alors f est impaire

f(-x)= - (-x)((-x)²-5)/((-x)²+3) = x(x²-5)/(x²+3) = - (-x(x²-5)/(x²+3)) = - f(x)

f(x)=-f(x) donc f est impaire, et Cf admet un centre de symétrie

bonjour à tous

Merci C-line pour ta réponse et merci à toi julien pour la remarque

je remets l'exercice avec les parenthèses

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=(-x(puissance 3)+5x)/(x²+3)


Et C sa courbe représentative dans un repère (o;i;j) d'unité 1cm.


1) Déterminer les réels a et b tels que pour tout x appartient à R.


f(x)=(ax+bx)/(x²+3)


b) Montrer que f est impaire.Que peut-on en déduire pour C?


2) Etudier les limites de f en +infini et -infini


b) Après avoir déterminer l'ensemble de dérivabilité, calculer f'(x) et montrer que:


f'(x)=((x²+15)(1-x²))/(x²+3)²




c) Etudier les variations de f, puis dresser son tableau de variation.


3) Soit D la droite d'équation y=-x. Montrer que D est asymptote oblique à C en +infini et -infini


Etudier la position relative de D et C.


4) Soit T la tangente à C au point d'abscisse 0.

Donner l'équation de T

Etudier la position relative de C et T.


5) Construire D,T et C.Préciser les coordonnées des points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Merci encore pour votre aide

Ca me fait plaisir de t'aider Lily :p
Alors passons à la suite.

2) les limites en + et -

f(x)= (-x^3 + 5x)/(x²+3)

= x²(-x + 5/x)/x²(1 + 3/x²) on factorise par x² en haut et en bas ; les « x² » s’annulent.

= (-x + 5/x)/(1 + 3/x²) cette forme te permet de calculer les limites en + ou – infini plus facilement.


* Limite de f(x) en + :(on remplace x par +infini pour trouver)

Lim (–x + 5/x) = - + 0 = - limite du numérateur
Lim (1 + 3/x²)= 1 + 0 = 1 limie du dénominateur


Lim (fx) = lim(-x + 5/x)/(1 + 3/x²) = limite du numérateur / limie du dénominateur = - /1 = -
(=> bien sûr ça c'est qd x tend vers + infini)


* Limite de f(x) en - :(on remplace x par - infini)

Lim (–x + 5/x) = + + 0 = +
Lim (1 + 3/x²)= 1 + 0 = 1

Lim f(x)= lim(-x + 5/x)/(1 + 3/x²) = + /1 =+
x -

* Récapitulatif:

Lim f(x)= - Lim f(x) = +
x+ x -

[b]b) * Ensemble de dérivabilité de de f (Df) :

Pour que f(x) et f’(x) existent, le dénominateur (x²+3) ne doit pas être égal à O (c'est une valeur interdite).

Or X²+3=0
<=> x²=-3

c’est impossible, donc le dénominateur ne s’annule jamais (il est mm tjrs supérieur ou égal à 3)

On en déduit Df = [/b]


*Calculer f'(x) et montrer que: f'(x)=((x²+15)(1-x²))/(x²+3)²


On démontre ça en deux temps ; d’abord tu dois calculer f’(x) ,
et ensuite à part tu développes ((x²+15)(1-x²))/(x²+3)² c'est-à-dire ton énoncé.
Tu constateras que les deux résultats sont égaux.
Donc tu pourras dire que f’(x) = ((x²+15)(1-x²))/(x²+3)² .


Je te montre comment je pense qu’il faut présenter :


f’(x) = ( (-3x²+5)(x²+3)-2x(-x^3+5x) ) / (x²+3)²

=( -3x^4 -9x² +5x² +15 +2x^4 -10x² ) / (x² + 3)²

= ( - x^4 -14x² +15 ) /(x²+3)²



De plus, ((x²+15)(1-x²))/(x²+3)² = ( x² -x^4 +15 – 15x²) / (x²+3)²= ( -x^4 -14x² +15) / (x²+3)²


Donc f’(x) = ((x²+15)(1-x²))/(x²+3)²

merci beaucoup C-line