problème avec une suite périodique

bonjour,

voilà le problème, soit a et b deux complexes.
A quelle condition, la suite (zn) définie par: zn+1=azn+b est elle périodique ) partir d'un certain rang.

Moi j'airépondu que la suite zn+1 est périodique si et seulement si: zn+1=zn
c'est a dire si zn=(-b)/(a-1)

est ce ca? car je trouve que c'est un peu simple quand meme


merci de m'aider

Bonjour,

La suite 1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... est périodique mais zn+1 n'est pas égal à zn pour autant...

Si à partir d'un certain rang, zn+1 = zn, la suite devient constante.

pourtant c'est une définition zn+1=zn

La définition de la périodicité d'une suite, c'est :
il existe un entier k tel que n, U(n+k)=Un.

oui merci je viens de m'en apercevoir

voilà j'ai cherché mon exo et voici ma solution:

on a zn+1=azn+b

si a=0 alors zn=b et zn+k=zn=b. Donc la suite est de période k
si a=1 alors zn=z0+nb. Donc zn est une suite arithmétique et elle est périodique si et seulement si zn+k=zn c'est à dire si b=0

si a différent de 1 et 0 alors zn=a^n(z0+(b)/(a-1))-(b)/(a-1)
donc zn+k=zn si -1+a^k=0 et z0=-b/a-1

donc la suite est périodique si a=0
a=1
si a est solution de l'équation a^k-1
si z0=-b/a-1

quelqu'un peut il me dire si c'est juste?

bloups a écrit:si a=0 alors zn=b et zn+k=zn=b. Donc la suite est de période k

Dans ce cas, la suite est constante donc de période nulle.

bloups a écrit:si a=1 alors zn=z0+nb. Donc zn est une suite arithmétique et elle est périodique si et seulement si zn+k=zn c'est à dire si b=0

OK.

Après, pour le reste des calculs, je n'ai pas vérifié, c'est pas très clair à cause des sauts de ligne... Moi j'aurais plutôt exprimé Z(n+k) pour ensuite résoudre Z(n+k)=Zn.

j'ai une question est il possible que a=-1 car on est dans C et non dans C²
dans le livre ou j'ai étudié les suite récurrentes, il se situe dans C²

Ah j'avais pas fait gaffe que a et b sont des complexes.

Oui, a peut valoir -1, c'est bien un complexe. a = -1 +0*i si tu préfères.

Mais comment on fait alors dans ce cas là?

bloups a écrit:Mais comment on fait alors dans ce cas là?

Tu as besoin d'étudier ce cas à part ?

ben j'aimerai voir pour la périodicité

Par ailleurs quelle est la différence entre C² et C: est que dans C² on ne considère que les termes positifs? Et dans ce cas pourquoi pas C+ comme pour R+

bloups a écrit:ben j'aimerai voir pour la périodicité

A moins que ça intervienne dans le dénominateur d'un quotient, genre 1/(a+1), tu n'as pas besoin d'étudier cette valeur...


Sinon, je pense savoir où tu fais la confusion avec C².

En fait, il y a plusieurs notations pour dire que a et b sont complexes :
1) a, b (il n'y a pas de parenthèses autour de a et b)
2) a, b x (il faut lire a et b appartiennent à C croix C, croix étant le produit cartésien)
3) (a, b) ² (ici, il s'agit du couple a et b car c'est entre parenthèses et dans ce cas, on met ²).

Ca correspond bien aux notations que tu as vues ?

bloups a écrit:Et dans ce cas pourquoi pas C+ comme pour R+

Pour en finir avec cette question, IL N'Y A PAS D'ORDRE DANS !!! (j'écris en majuscules pour que tu t'en souviennes )

Tu as dû le voir quelque part. Il n'y a donc pas de complexes positifs ou négatifs...

oui exact tu as raison.
Mais moi je pense que la suite est périodique pour a=-1 non?

bloups a écrit:Mais moi je pense que la suite est périodique pour a=-1 non?

Oui, si je ne me suis pas trompé, elle est de période 2. Les termes alternent entre -zn+b et zn.

quelle est ta démo? tu pourrais la poster? pour voir comment tu as fais car moi je ne vois pas comment tu trouves la période 2

Zn+2 = -Zn+1 + b = -(-Zn + b) + b = Zn.

d'accord merci

mais pourquoi ici on étudie le cas a=-1 ce n'est pas un quotient

De rien

bloups a écrit:mais pourquoi ici on étudie le cas a=-1 ce n'est pas un quotient

C'est justement la question que je te posais ! Ce n'est pas utile d'étudier ce cas à part s'il n'apparaît pas dans un quotient !

ah d'accord mais pourquoi spécialement dans un quotient?

Parce que si tu as a+1 en dénominateur, tu ne peux écrire que le quotient si a est différent de -1. Car si a=-1, a+1=0 or on ne peut pas diviser par 0 !

d'accord merci pour ton aide.
je pense qu'on peut fermer le sujet

Avec plaisir.

bloups a écrit:je pense qu'on peut fermer le sujet

Pas la peine de le verrouiller ! Mais si tu n'as plus besoin de sujet par rapport à cette suite, on peut en arrêter là si tu veux.

A la prochaine dans un autre sujet alors !

ok merci pour ton aide