problème continuité

Bonjour à toutes et à tous,
J'ai un petit problème quant à la résolution d'un exercice sur la continuité .
problème du marcheur:
"Un marcheur a parouru 10km en une heure.Existe-t-il un intervalle d'une demi-heure pendant lequel il a parcouru exactement 5km"
Pour tout réel t appartenant a l'intervalle [0;1], on désigne par f(t) la distance, en km, parcourue a l'instant t, en heures.Il é naturel de faire l'hypothèse que f st une fonction continue sur [0;1] .
1) Préciser f(0) et f(1).
2)Ecrire l'équation traduisant le problème.
3) Soit g la fonction définie sur [0;0,5] par g(t)=f(t+0,5)-f(t)
a)Montrer que la fonction g est continue sur [0;0,5]
b)Montrer que l'équation g(t)=5 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;0,5].
4)Conclure

alors la 1)
f(0) =0 car c'est le point de départ dc il a parcouru 0km
f(1) =10 car en 1h il parcourt 10 km

2) l'equation du problème est f(t-0.5)-f(t)=5 je pense mais pas hyper sur de moi XD

enfin apres pour la 3 je vois pas comment expliquer le fait qu'on introduise la nouvelle fonction g pis apres faudra utiliser le theorème des valeurs intermédiaires mais sur le travail avant que je bloque

merci de m'aider

Salut,

pour la 2), ça serait plutôt f(t)-f(t-0,5)=5 ou f(t+0,5)-f(t)=5.

Et pour la 3, oui, il faut utiliser le TVI.

je vois pas comment l'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires dans ce cas ... merci de m'aider

Alors tout d'abord, il te faut calculer g(0) et g(0,5). La fonction g étant continue sur l'intervalle [0;0,5], elle prend toutes les valeurs entre g(0) et g(0,5).

on ne sait pas si g est continue sur [0;0.5] elle est juste définie sur cet intervalle

alors j'ai calculer g(0)

g(0)=f(0+1/2)-f(0)
g(0)=f(1/2)-f(0)
g(0)=f(1/2)-0
dc g(0)=f(1/2)

j'ai calculer g(1/2)
g(1/2)=f(1/2+1/2)-f(1/2)
g(1/2)=f(1)-f(1/2)
dc g(1/2)= 10-f(1/2)

snoopy70 a écrit:on ne sait pas si g est continue sur [0;0.5] elle est juste définie sur cet intervalle

C'est ce qu'on te demande de démontrer en 3)a). C'est justement qu'il faut que tu t'en serves pour les questions suivantes...

est ce que sa marche si on dit que la fonction g est continu car elle est la difference de deux fonctions F qui sont continue sur [0;1] donc sur [0;0.5] ?

Oui, tu peux dire que c'est la différence de 2 fonctions continues en précisant bien les intervalles.

okii merci mais alors apres je vois pas comment appliquer le TVI
on fait deux cas ?

soit f(1/2)<5 dc 10-f(1/2)>5

soit f(1/2)>5 alors 10-f(1.5)<5 ???

mais comment faire apres ? je bloque la dessus ...

Tu as montré que g est continue sur [0;1/2].
g(0)=f(1/2) et g(1/2)=10-f(1/2). TVI donne donc : g prend toutes les valeurs entre f(1/2) et 10-f(1/2).

1er cas : f(1/2)=a avec a<5
Alors 10-f(1/2)>5 donc g prend toutes les valeurs entre a et 10-a avec a<5<10-a donc en particulier 5.

2ème cas : f(1/2)=b avec b>5
Alors 10-f(1/2)<5 donc g prend toutes les valeurs entre 10-b et b avec 10-b<5
Tu comprends mieux ainsi ?