Arithmétique

Soit x .

1. Montrer que x^4 + 4 = (x² +2)² −4x².

2. En déduire que x^4 + 4 peut s’écrire comme produit de deux trinômes à coefficients réels.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère les entiers A = n² −2n +2 et B = n² +2n +2 et d leur PGCD.
3. Montrer que n^4 + 4 n’est pas premier.

4. Montrer que tout diviseur de A qui divise n, divise 2.

5. Montrer que tout diviseur commun de A et B, divise 4n.

6. Dans cette question on suppose que n est impair.
a. Montrer que A et B sont impairs. En déduire que d est impair.
b. Montrer que d divise n.
c. En déduire que d divise 2, puis que A et B sont premiers entre eux.

7. On suppose maintenant que n est pair.
a. Montrer que 4 ne divise pas n² − 2n + 2.
b. Montrer que d est de la forme d = 2p, où p est impair.
c. Montrer que p divise n. En déduire que d = 2. (On pourra s’inspirer de la démonstration utilisée à la question 6.)