Paraboles/Fonctions

Coucou tout le monde...
Aujourd'hui, je viens juste de commencer à étudier cette matière passionnante!
Le problème étant que j'aimerais pouvoir impressionner mon prof
Vous pouvez m'instruire d'avance?

Je ne pense pas que tu pourras l'impressionner avec ce sujet...

Parlant de cela... j'ai pensé à un ti' truc qui différenciera les personnes qui sont plus mathématiques et les personnes qui sont plus philosophes (enfin, je crois ) :

[3,5] -> Nbr. de possibilitées :
[1,12] -> Nbr. de possibilitées :

Pourtant, on remarque bien que, logiquement, [3,5] [1,12], mais leur nombre de possibilités reste le même...

En gros, comment [1,3[ U ]5,12] (qui correspond à [1,12] - [3,5]) peut-il contenir plus de possibilitées qu'un simple [3,5] !?!

Bon là mon idée est pas très bien expliquée et je ne me souviens même plus pourquoi je tenais à faire la genre de soustraction, mais bon!

Tu parles là de notions d'infini, et ce n'est pas si simple pour nos pauvres petits esprits humain...

Si tu veux te torturer la cervelle cette nuit:
A chaque nombre naturel (0,1,2,3,4,5,.......) on peut associer un nombre pair (en le multipliant par deux) et inversément (en divisant les nombres pairs par deux). Il y a donc la meme quantité de nombres que de nombres pairs !

Les mathématiques ont des bases très solides, payne.

Il existe plusieurs niveaux d'infini pour les ensembles ayant une infinité d'éléments. On dira que deux ensembles infinis sont de même cardinal s'il existe une bijection entre ces deux ensembles. Il se trouve que les ensemble [3;5] et [1;12] ont le même cardinal car la fonction f(x)=5,5x-15,5 est une bijection entre ces deux ensembles. Que l'un ait une mesure naturelle plus grande que l'autre n'a pas d'importance. Que l'un contiennne strictement l'autre n'a pas d'importance non plus. C'est le même niveau d'infini, le même cardinal.

Voici des ensembles différents qui ont le même cardinal infini : , , , 2 .
Tous ces ensembles là ont une infinité d'éléments et sont en bijection les uns avec les autres. Leur cardinal est le plus petit cardinal infini possible. On dit que ces ensembles sont dénombrables.

, , [3,5] et [1,12] sont également des ensembles infinis de même cardinal. Mais ce cardinal dépasse le cardinal des ensembles dénombrabres.

Chose amusante : on peut démontrer que c'est impossible de savoir s'il existe un cardinal entre les deux cardinaux infinis précédents : l'existence d'un ensemble ayant un tel cardinal n'est ni démontrable, ni refutable dans la théorie mathématique classique.

Comment une telle chose est-elle possible ? Simplement parce qu'il est impossible d'avoir une théorie mathématique qui est à la fois complète et sans contradiction (et les contracdictions sont toujours refusées), du moins si la théorie est assez riche. Gödel a démontré cela rigoureusement (en mathématique).

On peut donner une explication philosophique de ce dernier fait (cela reste flou, ce n'est pas une preuve, mais juste une idée) : le cerveau humain ne permet à l'homme d'avoir accès qu'à certaine chose dite accessible. Pour faire des maths, l'homme a besoin de base : les axiomes. Ceux-ci sont les assertions acceptées comme étant vraies à l'origine. Leur négation (leur contraire) est fausse. Ensuite, on a des règles qui permettent de déduire que d'autres assertions sont vraies ou fauses en fonction des assertions précédentes. Mais l'homme doit être capable de dire si une assertion donnée est un axiome ou pas. Et malheureusement, cela implique une restriction sur les possibilités des assertions choises comme axiomes : si "l'ensemble des axiomes" est d'une forme trop complexe, l'homme est incapable de dire en un temps fini si une assertion donnée en fait partie ou pas. Il y a donc une restriction pour l'homme sur le choix des axiomes. Et cette restriction suffit à empêcher l'homme d'avoir un système d'axiomes permettant aux théories mathématiques non contracdictoires assez riches d'être complètes.

Haa ce cher axiome du choix ^^ quelle farce quand on le voit la première fois !

C'est interessant ton truc sur les nombres pairs!

le_duche a écrit:Haa ce cher axiome du choix ^^ quelle farce quand on le voit la première fois !

Oui, l'axiome du choix un autre exemple très intéressant !

Mais celui que je citais avec les cardinal est en fait l'hypothèse du continu et est différent de l'axiome du choix.

payne a écrit:C'est interessant ton truc sur les nombres pairs!

Comme la fonction f(x)=2x est une bijection entre et 2 , l'ensemble des nombres pairs 2 a le même cardinal que l'ensemble des nombres entiers .

Pourtant encore une fois, l'un est strictement inclus dans l'autre. Mais cela n'a pas d'importance : c'est le même niveau d'infini car on peut mettre les éléments des deux ensembles en correspondance biunivoque.

Merde, décris-moi chaque mot que t'as mis dans ce message!

Trop long...

Mais, va demander à mon ami google. Il est très bavard !