[Assez difficile] Petite énigme

Ceux qui connaissent déjà, laissez chercher un peu les autres. Voici une petite énigme sympathique que ma copine m'a proposé l'autre jour. Et j'avoue qu'à court d'idées je n'ai pas trouvé tout seul

7 mathématiciens sont faits prisonniers par un tyran. On les soumet au supplice suivant:
Les 7 mathématiciens seront placés à midi en file indienne et par ordre de taille (ne pouvant ainsi voir que les mathématiciens qui sont devant chacun d'eux). On leur attribue chacun un chapeau noir ou blanc de façon parfaitement aléatoire (ils ne peuvent pas voir leur propre chapeau, par contre chacun peut voir les chapeau de ceux qui sont devant lui). A tour de rôle en partant du dernier devra crier "noir" ou "blanc", et si la couleur énoncée n'est pas la couleur du chapeau il se fait décapiter sur le champ.

Cependant, dans sa grande clémence, le tyran accepte de les laisser se concerter avant de recevoir les chapeaux afin de convenir d'une stratégie à adopter.

Trouvez une stratégie pour en sauver au moins 3 de façon certaine.
Trouver une stratégie pour en sauver au moins 4 de façon certaine.
Peut-on en sauver plus de façon certaine ?
Quelle est la meilleure probabilité que les 7 soient sauvés ?

C'est marrant j'en connaissais une exactement du même genre mais avec seulement trois types, et déjà je ne me souviens plus de la solution, alors là avec 7 ...

Bon... j'pense que j'ai quelques solutions à apporter!
Pour en sauver au moins 3: Le premier à parler dit la couleur du chapeau du suivant, comme ça, il a des chances que ce soit la couleur de son chapeau et d'être sauvé en plus d'avertir l'autre de la couleur de son chapeau. Le deuxième sauve donc sa peau. La troisième fait la même chose que le premier et ainsi de suite.

Pour en sauver 6: Le premier énonce la couleur des chapeaux en ordre et se laisse décapiter

Voilà pour moi!