[Difficile] Problème n°2

par **Julien** le Ven 2 Mai - 7:36

Par quel chiffre se termine le nombre ?

par Sangoku le Ven 2 Mai - 17:07

Lol celui-ci me semble plus facile que le facile :-P

par **Julien** le Ven 2 Mai - 18:11

lol alors j'attends les solutions des deux problèmes !

par **le_duche** le Dim 4 Mai - 13:00

Effectivement ! il est très facile :-)

Spoiler:: Le puissances successives d'un nombre terminant par 9 sont 1 ou 9 selon que la puissance est paire ou impaire.
Démonstration:
Un nombre terminant par 9 s'écrit 10k+9 avec k >= 0.
Montrons que (10k+9)^n termine par 1 si n est pair et par 9 si n est impair.
Pour n=0 nous avons (10k+9)^0 = 1 --> termine par 1.
Pour n=1 nous avons (10k+9)^1 = 10k+9 --> termine par 9.
On peut maintenant faire la récurrence suivante:
supposons premièrement que (10k+9)^n (avec n pair) termine par 1. Alors (10k+9)^n peut s'écrire 10q+1 avec q >= 0.
Ainsi, (10k+9)^(n+1) = (10q+1)(10k+9) = 100qk+90q+10k+9 --> termine par 9.
Supposons ensuite qur (10k+9)^n (avec n impair) termine par 9. Alors (10k+9)^n peut s'écrire 10p+9 avec p >= 0.
Ainsi, (10k+9)^(n+1) = (10p+9)(10k+9) = 100pk+10p+10k+81 --> termine par 1.
ceci cloture la démonstration.

Il nous faut donc savoir si 9999^(999^(99^9)) est pair ou impair.
Ce qui est très facile, puis que c'est un produit (même s'il est gros) de nombre impair, donc impair.
Ainsi le dernier chiffre de 99999^(9999^(999^(99^9))) est 9.

par **le_duche** le Dim 4 Mai - 13:02

Proposition de problème:

Trouver le premier chiffre de 99999^(9999^(999^(99^9))).

Je me suis pas encore penché dessus, je regarderai tantot.

par **le_passioné** le Dim 4 Mai - 15:12

salut
moi je crois que le_duche na rien d'autre a faire a part resoudre les problemes posés par julien lol

par Sangoku le Dim 4 Mai - 16:50

Lol moi je pense qu'il a mis 5 minutes pour la rédaction et 10 sec pour la résolution:-). Mais le problème en soi est fort pédagogique. Intéressant seraient aussi les 2 derniers chiffres.

par **le_duche** le Dim 4 Mai - 18:00

le_passioné a écrit:salut
moi je crois que le_duche na rien d'autre a faire a part resoudre les problemes posés par julien lol

Heu... non pas vraiment Laughing

C'était juste une mini pause que je venais faire sur le forum ^^

Parmis mes autres mini-pauses j'ai pensé à exploiter le fait que
99999^(9999^(999^(99^9))) est en fait (10^5 - 1)^n avec n grand.
Ce qui donne donc

C(n,j)(-1)^(n-j)*(10^5)^j pour j allant de 0 à n.
je pensais alors regarder le rapport entre le plus grand terme et la somme des valeurs absolues des autres. Si ce rapport est plus grand que 10/1, alors on a deux cas possible:
1. soit la somme des autres termes est positive, et dans ce cas on ajoute qqch de "petit" à 10^(5n), le premier chiffre reste donc 1.
2. soit la somme des autres termes est négative, et dans ce cas on retire qqch de "petit" à 10^(5n), le premier chiffre devient donc 9.

Cependant je ne suis pas sur que ce rapport soit si gentil, et n'ayant pas de feuille de papier sous la main, j'ai un peu de mal comme ça...

par **Julien** le Lun 5 Mai - 12:11

Pour la résolution du problème initial, c'est à peine si je relis ta solution ^^

J'attends tes recherches quant à la valeur du premier chiffre de ce grand nombre...
Very Happy

par **Julien** le Jeu 8 Mai - 11:08

Du nouveau le_duche sur tes recherches ?

par **le_duche** le Jeu 8 Mai - 11:21

Non je n'ai pas continué à chercher Smile

A vue de nez, je dirais que ça commence par 9999 mais ca doit être assez crade à démontrer (sans être trop compliqué pour autant), et je ne suis pas particulièrement motivé pour le faire Very Happy