Le raid mathématique de Duche

Rappel du premier message :

Les règles sont extrêmement simples.
Je poste un problème, à vous d'en trouver le solution. A vous de voir si vous voulez comptabiliser les points de ceux qui trouvent, mais ce n'est pas obligatoire. Chaque fois qu'un problème est résolu, j'en poste un nouveau.
Note: Une solution ne se compose pas exclusivement de la réponse, mais doit être accompagnée d'une démonstration complète.

Problème 01:
Trouver la valeur minimum de x²+y²+z²/2
Sachant que x+y+z = 10.

Ce qu'il faut remarquer c'est que le maximum se produit lorsque x=y

bonjour a tous,

je vous rappelle le problème:
Trouver le minimum de x²+y²+z²/2, en sachant que x+y+z=10

Voila ma proposition:
On applique l'inégalité de Chébychev
Donc x²+y²+z²/2 (x+y+z)(1+1+1/2)=25
Donc x²+y²+z²/2 25
Avec égalité si x=2.5 y=2.5 z=5

quelqu'un pour dire si cette démonstration est exact?
merci

Pour rappel, Tchebychev s'énonce comme suit:


Donc si on l'applique ici, on devrait obtenir ceci:
( x²+y²+z²/2 ) >= 1/3 ( x²+y²+z² ) ( 1+1+1/2 ) = 5/6 ( x²+y²+z² )

Et encore... puisqu'il faudrait s'assurer d'avoir des suites croissantes ou décroissantes...

SPOILER SPOILER SPOILER SPOILER SPOILER SPOILER !

Voici la solution:

On se demande donc quand est-ce que x²+y²+z²/2 est minimum.

Affirmation 1: Le produit de 2 nombre dont on connait la somme est maximum lorsque ces nombres sont égaux.
En effet, posons a+b = n, avec n la somme fixée. Alors ab = a(n-a) = -a²+na. Il est facile de vérifier que le maximum de cette fonction est bien en a = n/2. Ceci démontre l'affirmation 1.

Affirmation 2: Quel que soit z, x²+y² sera minimum lorsque x=y.
En effet, x+y est fixé et vaut 10-z. Minimiser x²+y² revient à minimiser (x+y)²-2xy. Puisque x+y est fixé (selon z) il s'agit donc de maximiser xy. Or, ce produit est maximum lorsque x=y, en vertu de l'affirmation 1.

Ainsi, il suffit de trouver le minimum de 2x²+z²/2 lorsque 2x+z = 10.
Ou encore, trouver le minimum de 4x²+z². En posant 2x = a et z = b, il suffit de trouver le minimum de a²+b² lorsque a+b = 10.
Mais de la même façon que pour l'affirmation 2, cela se produit lorsque a = b, c'est à dire lorsque 2x = z.

Le minimum est donc atteint lorsque x = y et 2x = z, c'est-à-dire lorsque x = 2.5 , y = 2.5 , z = 5.