Le raid mathématique de Duche

Les règles sont extrêmement simples.
Je poste un problème, à vous d'en trouver le solution. A vous de voir si vous voulez comptabiliser les points de ceux qui trouvent, mais ce n'est pas obligatoire. Chaque fois qu'un problème est résolu, j'en poste un nouveau.
Note: Une solution ne se compose pas exclusivement de la réponse, mais doit être accompagnée d'une démonstration complète.

Problème 01:
Trouver la valeur minimum de x²+y²+z²/2
Sachant que x+y+z = 10.

Code:

  1 #include <stdio.h>
  2
  3 int main(int argc, char * argv[])
  4 {
  5  int x, y, z;
  6  float r, max=100;
  7  for(x=0;x<=10;x++)
  8  {
  9    for(y=x;y<=10;y++)
 10    {
 11      z=10-x-y;
 12      if(z>=0)
 13      {
 14        r=x*x+y*y+z*z/2;
 15        if(r<=max)
 16        {
 17          max=r;
 18          printf("(%i;%i;%i) -> %f\n", x, y, z, max);
 19        }
 20      }
 21    }
 22  }
 23 }

Ce qui donne 25,5 si x, y et z sont des entiers.

Outch ^^ T as fais sous DEV ++ ?

Pour faire ce genre de programme, gcc (sous Linux) suffit largement !

A oui les ingénieurs aiment bien Linux ( bande de hackers :p )

C'est quel niveau tes problèmes??

x y et z sont des réels gros malin !

Ce problème ci doit pouvoir ce faire si tu sais ce qu'est un carré...
Ce ne sont pas des exercices conventionnels, il faut faire tourner le cerveau

Bon ben j'vais peut-être essayer, mais ca a l'air d'être une équation du 2nd degré (au moins) à première vue...
C'est juste z² qui est divisé par 2, c'est ça??

Moi je dit que c'est de la triche que d'utiliser des ordinateurs pour faire les calculs à notre place

Duche a écrit:x y et z sont des réels gros malin !

Ce n'était pas précisé que je sache !!! Bon, c'est vrai que j'ai pris la voie de la facilité en supposant qu'ils étaient naturels, mais ton énoncé était incomplet donc j'en ai pris la liberté !

S'il n'y a pas de précision, tu devrais savoir que x y z représentent généralement des réels, a,b,c,... des entiers et m,n,... des naturels.
Nulle convention la dedans, juste des 'bonne manières'.

Mais donc le problème concerne bien les réels.

Bof, moi quand je vois un tel énoncé, soit ça me fait penser à de l'arithmétique (ex : dernier théorème de Fermat toujours énoncé avec les ENTIERS x, y et z), soit à une fonction à plusieurs variables. Donc ton "généralement" est assez bancal, surtout quand x+y+z=10.

Fermat est toujours énoncé a^n + b^n = c^n

Moi je trouve 25 si x y et z sont positifs avec x=2.5, y=2,5 et z=5.

C'est une bonne réponse, mais ça ne suffit pas, il te faut prouver qu'il n'est pas possible de faire moins de 25 !

Je sais que je ne l'ai pas démontré mais je ne vois pas comment prouver qu'il n'y a pas moins de 25.

C'est là tout le but de l'exercice

Ca me fait penser à une intersection d'un cône (ou quelque chose du genre) avec un plan. C'est dans cette voie qu'il faut chercher au moins ?

Non c'est bien plus simple que ça il me semble. Cependant l'idée du cône peut être tout à fait efficace si c'est utilisé correctement.

Personne ?
Pensez à justifier le minimum de la somme de deux carré quand on connait la somme des nombres.

Euh... x²+y²=(x+y)²-2xy mais ça doit mener à quoi ça ?

Et bien, si x+y est une constante, comment minimiser x^2 + y^2 ?

Duche a écrit:Et bien, si x+y est une constante, comment minimiser x^2 + y^2 ?

En maximisant le produit xy.

Et quand est-ce que xy est maximum si l'on sait que x+y est fixé ?

Imaginons que x+y=a.
xy=x(a-x)=ax-x² donc le maximum est en a/2. Donc le maximum de xy si x+y=a est a²/4 ?