Les problèmes d'Ephemere

Problème 3.
a) Trouver toutes les surjections f de dans qui vérifie la propriété x , f(f(x))=-f(x).
b) Trouver toutes les injections f de dans qui vérifie la propriété x , f(f(x))=-f(x).

Si tu ne comprends toujours pas mon langage redemande encore. Cela me semble clair, mais les conventions des uns ne sont pas toujours celle des autres.

Ben disons que je pars du principe que si on affirme
pour tout a appartenant à broll, alors f(a)=...
j'en conclu que f(a) est défini pour tout a...

Dans le cas d'une surjection, si elle est définie pour tout point de son ensemble d'origine, alors c'est une bijection... non ?

le_duche a écrit:Dans le cas d'une surjection, si elle est définie pour tout point de son ensemble d'origine, alors c'est une bijection... non ?

Non. Il faut l'injection aussi.

DEFINITION

Soient A et B deux ensembles.

Une application f de A dans B est une loie qui à tout élément de A associe un élément de B. On note f(x) l'élément associé à x.

Une application de A dans B est injective (ou une injection) si
x,y A, on a l'implication f(x)=f(y) x=y.

Une application de A dans B est surjective (ou une surjection) si
y B x A tel que f(x)=y.

Une application de A dans B est bijective (ou une bijection) si elle est à la fois injective et surjective.

Wep ok, j'avais mal cerné la définition d'injection...

[quote="ephemere"]Problèmes posés le samedi 21 octobre 2006.
Les solutions doivent parvenir par mail à l'adresse paradoxe_ephemere@yahoo.fr avant le 5 novembre 2006 à midi.



Problème 1.

On considère un cercle de rayon 1. Sur ce cercle, on considère trois points A, B et C qui sont tels que l'angle <ABC mesure 60°. On demande de calculer la longueur de la corde [AC].



Problème 2.

Une tour cylindrique parfaitement verticale possède neuf étages identiques. Si on se place au niveau du pied de la tour à exactement cent mètres de celle-ci, on peut voir exactement les huit étages du bas sous un certain angle A. Du même endrois, on peut voir exactement les trois étages du bas sous l'angle A/2. Trouver la hauteur de la tour.



Problème 3.

Si x est un entier strictement positif, on note x! le produit de tous les entiers strictement positifs et au plus égaux à x.
Prouver que pour tout couple d'entiers strictement positifs (a,b),
le nombre ((ab)!)² est divisible par le nombre (a!)^{b+1}(b!)^{a+1}.



Problème 4.

On veut colorier les sommets d'un polygone régulier de 100 côtés avec 50 couleurs différentes en utilisant exactement deux fois chaque couleur. Prouver qu'il existe nécessairement deux couleurs A et B telles que la distance qui sépare les deux sommets de couleur A soit égale à la distance qui sépare les deux sommets de couleur B.



Bon amusement !

Je vais avoir un peu moins de temps pour chercher sur tes problèmes ces temps ci... tu devrais peut etre les laisser deux semaines plutot qu'une !

D'accord. J'édite la date de remise.