Les problèmes de Duche (octobre 2006)

par **le_duche** le Dim 17 Sep - 20:52

Même principe que pour les problèmes du mois de samir, vous m'envoyez un mail avec la solution correctement rédigée à l'adresse
legrandduche@gmail.com
et vous annoncez que la solution est postée.

ps: comme on est deja bien avancé dans le mois de septembre, j'en ai choisi un pas "trop" difficile (mais difficile quand meme ^^)

par **le_duche** le Dim 24 Sep - 22:35

Et bien personne ?

par **ephemere** le Lun 25 Sep - 8:06

C'est jusque la fin du mois ! Wink

par **ephemere** le Lun 25 Sep - 13:28

Solution envoyée.

par **ephemere** le Mar 3 Oct - 23:05

Tu as bien reçu ma solution ?

par **le_duche** le Mer 4 Oct - 16:43

voui voui , j'avais oublié...

par **le_duche** le Mer 4 Oct - 16:43

Solution d'Ephemere.

Si p est un nombre premier, il est soit égal à 2, soit impair.

Si p=2, alors 2^p+3^p=13 et n'est pas de la forme a^n avec a et n entiers et n>1.

Si p est impair, alors 2^p=-(-2)^p modulo 5, et donc 2^p=-3^p modulo 5, ce qui implique que 2^p+3^p est un multiple de 5.
Comme 5 est un nombre premier, pour que 2^p+3^p soit de la forme a^n avec a et n entiers et n>1, il est nécessaire que 2^p+3^p soit divible par 5^n. Montrons que c'est impossible si n>1 et si p est un nombre premier. Remarquons d'abord que si p= 5 alors 2^p+3^p=275=5²X11 n'est pas de la forme a^n avec a et n entiers et n>1. Pour finir, il nous suffit de prouver que si 25 divise 2^p+3^p et que p est un nombre premier, alors p=5. Or 2^p+3^p=0 modulo 25 si et seulement si p est congru à 5 ou à 15 modulo 20 (il suffit de dresser une table pour p variant de 0 à 19, car on sait que 2^20=3^20=1 modulo 25 par le petit théorème de Fermat). Donc, si 2^p+3^p=0 modulo 25, alors 5 divise p. Si p est en plus premier, alors nécessairement p=5. CQFD

par **le_duche** le Mer 11 Oct - 18:55

Voilà le problème d'octobre, qui arrive presque aussi tard que celui de septembre...

On place 100 nombres réels autours d'un cercle de telle manière que:
* leur somme vaut 100
* la somme de 6 nombres consécutifs est toujours inférieure ou égale à 6

Si l'un des nombres vaut 6, que vallent les autres ?

par **ephemere** le Mer 11 Oct - 23:59

le_duche a écrit:On place 100 nombres réels autours d'un cercle de telle manière que:
* leur somme vaut 100
* la somme de 6 nombres consécutifs est toujours inférieure ou égale à 6

Si l'un des nombres vaut 6, que vallent les autres ?

Solution envoyée.