Les problèmes de Duche (octobre 2006)

Même principe que pour les problèmes du mois de samir, vous m'envoyez un mail avec la solution correctement rédigée à l'adresse
legrandduche@gmail.com
et vous annoncez que la solution est postée.









ps: comme on est deja bien avancé dans le mois de septembre, j'en ai choisi un pas "trop" difficile (mais difficile quand meme ^^)

Et bien personne ?

C'est jusque la fin du mois !

Solution envoyée.

Tu as bien reçu ma solution ?

voui voui , j'avais oublié...

Solution d'Ephemere.

Si p est un nombre premier, il est soit égal à 2, soit impair.

Si p=2, alors 2^p+3^p=13 et n'est pas de la forme a^n avec a et n entiers et n>1.

Si p est impair, alors 2^p=-(-2)^p modulo 5, et donc 2^p=-3^p modulo 5, ce qui implique que 2^p+3^p est un multiple de 5.
Comme 5 est un nombre premier, pour que 2^p+3^p soit de la forme a^n avec a et n entiers et n>1, il est nécessaire que 2^p+3^p soit divible par 5^n. Montrons que c'est impossible si n>1 et si p est un nombre premier. Remarquons d'abord que si p= 5 alors 2^p+3^p=275=5²X11 n'est pas de la forme a^n avec a et n entiers et n>1. Pour finir, il nous suffit de prouver que si 25 divise 2^p+3^p et que p est un nombre premier, alors p=5. Or 2^p+3^p=0 modulo 25 si et seulement si p est congru à 5 ou à 15 modulo 20 (il suffit de dresser une table pour p variant de 0 à 19, car on sait que 2^20=3^20=1 modulo 25 par le petit théorème de Fermat). Donc, si 2^p+3^p=0 modulo 25, alors 5 divise p. Si p est en plus premier, alors nécessairement p=5. CQFD

Voilà le problème d'octobre, qui arrive presque aussi tard que celui de septembre...

On place 100 nombres réels autours d'un cercle de telle manière que:
* leur somme vaut 100
* la somme de 6 nombres consécutifs est toujours inférieure ou égale à 6

Si l'un des nombres vaut 6, que vallent les autres ?

le_duche a écrit:On place 100 nombres réels autours d'un cercle de telle manière que:
* leur somme vaut 100
* la somme de 6 nombres consécutifs est toujours inférieure ou égale à 6

Si l'un des nombres vaut 6, que vallent les autres ?

Solution envoyée.

Solution reçue et correcte...

Dis-moi ephemere, à voir les problèmes que tu poses et les problèmes que tu résouds, est-ce que "wépion" te dit quelque chose ???

Ce n'était pas encore là-bas à mon époque. Mais je sais ce que c'est, oui.

serais tu donc un ancien ? quelle année quel pays ???
Moi je suis de 2003, et je suis pas parti au Japon

Oui, un ancien. 1997, Argentine.

On se connait ? t'as déjà trainer au groupe Z ou à la FFJM ?

[edit: ok pas de prénom ^^]

Non, cela m'étonnerait vraiment qu'on se connaisse.

Je suis allé dans le groupe Z une fois, mais c'était en 1997, lorsque je venais de rentrer en première candi à l'unif. Il y a des anciens de mon année qui y retournent de temps en temps ?

Pour la FFJM, je n'ai plus participé depuis des années. Je suis déjà allé à Paris, donc si je veux participer, cela devra être en HC. Si cela te dit, on peut se donner rendez-vous à Mouscron... à conditioon de ne pas être trop distrait au tour précédant...

Je suis déjà allé 3 fois à Paris, Mouscron ne devrait pas poser problème...

Si on se connais, je ne sais pas, mais comme je traine vraiment souvent avec Cedric Troessaert, c'est bien possible !

Pour ce qui est des vieux de la vieille du groupe Z c'est bien pire que ca... Michel Baes nous a donné cours de "je-ne-sais-plus-quoi" je crois que c'étaient des problèmes en tout genre, j'ai déjà croisé Eric VanDenBusche... sinon je ne sais pas trop qui je connais d'autre...

Note: il me semble que HC c'est si tu es allé à Paris dans les 3 années précédentes, sans quoi tu repasses en GP...
Mais j'avoue que les deux derniers problèmes sont toujours interessants... et ce sont parfois eux qui font la différence !

Et bien, tu connais les deux autres francophones qui étaient avec moi en Argentine et le fils de la personne qui s'occupe de la sélection.

On le fait cette année en HC ? Cap ou pas cap ?

Allez HC alors !

oui et du coup je connais bien Gérald aussi !

En fait je suis à l'unnif avec ce fameux cédric troessaert, moi en math et lui en physique, mais on a eu pratiquement les deux premières candi communes... et on se connaissait de wépion.
je dis "fameux" car il nous a sorti une médaille de bronze en 5-ème et une argent en retho ! Un vrai brutos des problèmes de math... il a aussi eu le prix je sais plus quoi pour avoir eu la meilleure moyenne de toute la faculté des sciences en 1er et 2ème candi... (genre 19,5 ^^)
et en plus c'est un SUPER BON POTE !
(voilà pour la petite histoire)

Un vrai champion ! Ca doit être le seul médaillé d'argent parmis les belges francophones ayant participé au IMO ces quinze dernières années.

Il fait aussi le concours FFJM ?

Non il n'aime pas la FFJM, c'est vrai que j'y vais plus pour le FUN que pour les problèmes...