Problème de septembre 2006

par **samir** le Ven 1 Sep - 1:20

Bonsoir
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

problemedumois@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution envoyée"

Merci

par **le_duche** le Sam 2 Sep - 15:50

solution postée
voici la solutionn de le_duche

Il est évident que

2(x - y)² + 3(x - z)² + 6(y - z)² >= 0

En développant, on trouve

2x² - 4xy + 2y² + 3x² - 6xz + 3z² + 6y² - 12xy + 6z² >= 0

Ce qui se contracte en

5x² + 8y² + 9z² - 4xy - 6xz - 12yz >= 0

Ou encore

5x² + 8y² + 9z² >= 4xy + 6xz + 12yz

Ajoutons des termes positifs des deux cotés

6x² + 12y² + 18z² >= x² + 4y² + 9z² + 4xy + 6xz + 12yz

Le membre de droite est une identité remarquable, on a donc

6x² + 12y² + 18z² >= (x + 2y + 3z)²

qui fournit directement le résultat

x² + 2y² + 3z² >= (x + 2y + 3z)²/6.

CQFD

par **ephemere** le Lun 4 Sep - 23:17

solution envoyée
voici la Solution d'Ephemere.

Je vais considérer les 6 nombres suivants : x,y,y,z,z,z.
Leur moyenne arythmétique (x+y+y+z+z+z)/6 est inférieure ou égale à leur moyenne quadratique Rac((x²+y²+y²+z²+z²+z²)/6), c'est un théorème bien connu valable pour tout x,y,z>0.
J'élève les deux memebres au carré et j'obtient que (x+2y+3z)²/36 est inférieur ou égal à (x²+2y²+3z²)/6.
Je multiplie les deux membres par 6 et j'obtient que (x+2y+3z)²/6 est inférieur ou égal à x²+2y²+3z², ce qui répond à la question.

par Sangoku le Mer 6 Sep - 10:34

Solution postée

voici la solution de Sangoku
Voici ma solution d'une ligne:

x^2+2y^2+3z^2>=[(x+2y+3z)^2]/6
<=> (1+2+3)*(x^2+2y^2+3z^2)>=(x+2y+3z)^2
Ce qui est vrai par Cauchy-Schwarz

cqfd