Problème n°5

Démontrer qu'il existe une infinité de naturels a tels que n⁴+a ne soit jamais premier pour aucune valeur de n.

La condition sur n est n >= 0 ou n > 0 ?

On va dire n>0...

Il est coriace !
Je rechercherai dans quelques jours, là je vois pas.

Je n'ai rien démontré du tout, mais j'ai une conjecture.
On remarque que le chiffre des unités des puissances quatrièmes d'entiers naturels peut prendre seulement ces valeurs: 1 6 5 0.
Ainsi, on pourrait essayer d'ajouter "a", tel que n^4+a ne soit jamais un nombre premier on considérant cette observation.
Donc je me suis dit que je pourrais essayer de prouver que que si a=10x+4 avec x *, n^4+a est toujours un multiple d'un autre nombre...
Et on aurait alors une infinité de naturels a tels que n^4+a ne soit jamais premier pour aucune valeur de n.

Mais je n'ai pas du tout commencé à démontrer ça.
C'était juste une piste... Serait-il possible de me dire si je ne m'égare pas du problème avant que je me lance dans une recherche qui n'aboutira peut être jamais ?

(précision pour la conjecture: si n>0 alors le a=10x+4 avec x appartenant à tous les naturels)

Bon, il se fait tard alors je vais te donner un indice. Il y a du vrai dans ce que t'as écrit mais je n'ai pas le temps de m'y pencher dessus ce soir !

Indice : soit a=4b⁴...

Cette conjecture est fausse.
Ce que tu as remarqué c'est ceci, mais sans vraiment le voir.

Si on regarde les valeurs de n^4 modulo 2,3, et 5 on a

0^4 = 0 (mod 2)
1^4 = 1 (mod 2)
0^4 = 0 (mod 3)
1^4 = 1 (mod 3)
2^4 = 16 = 1 (mod 3)
0^4 = 0 (mod 5)
1^4 = 1 (mod 5)
2^4 = 16 = 1 (mod 5)
3^4 = 81 = 1 (mod 5)
4^4 = 256 = 1 (mod 5)

Cela signifie que si l'on choisi un a = -1 (mod 5) par exemple, n^4+a sera toujours divisible par 5 sauf si n est divisible par 5.
Ca raduit donc le nombre de n "dangereux" (ceux qui créent des premiers).
On peut également combiner, par exemple prendre un a = -1 (mod 2*3*5), ce qui signifie que n^4+a sera toujorus divisible soit par 2 soit par 3 soit par 5, sauf lorsque n est un multiple de 30.

Mais cela ne m'a pas encore mené à quelque chose, il me semble que cette idée tourne en rond. En effet, si on se contente de regarder uniquement les a de la forme a=5b-1 on ne fait que reporter le problème, car il deviendra

Montrer qu'il existe une infinité de b, tels que pour tout m
625 m^4 + 5b - 1 est non premier. Ce qui ne simplfie pas les choses à mon sens ^^

Ha ben combiné à ma technique ça marche impec !
Je rédige ça

oups non je me suis emballé