The Challenge : payne VS chocolatman (combat à mort)

Merci de l'invitation mais non je ne participerai pas lol !! Je regarde le combat, je suis un électron spectateur lol.

Moi aussi je suis un électron spectateur. Je me réjouis de voir ce fameux duel !

Je vous rappelle que je poste les problèmes demain à 16h00 !

Ça ce peut que je ne sois pas là demain, mais on sais jamais!

L'heure du match est arrivée. Que les grands esprits se préparent !
Comme dit précédemment, tout le monde peut participer !

Je rappelle donc que chaque problème sera noté sur 10. Vous devez me renvoyer les solutions sur legrandduche@gmail.com (en n'oubliant pas de mentionner votre pseudo) avant demain dimanche à 20h00, un retard trop important vous ferait perdre des points.

Chaque solution doit être soigneusement justifée. Néanmoins si vous trouvez la réponse mais que vous ne savez pas l'expliquer, vous aurez quand même quelques points mais loin de la totalité.
Je vous invite à me renvoyer tout ce que vous trouvez, je pourrais y déceler de bonnes idées...

Si vous avez des dessins à faire, vous pouvez soit les faire soigneusement à la main et les scanner (si c'est possible) soit avec paint, mais dans ce cas, évitez le format bmp qui prendrait beaucoup de place dans ma boite mail...(sauf si c'est un petit dessin bien sur).










Problème n°1

On construit un cube d'arête 3 avec 27 dés cubiques d'arête 1, les uns blancs, les autres noirs. On dispose ceux-ci de manière telle que dans chacune des six faces du grand cube il y ait exactement une case noire dans chaque rangée horizontale et dans chaque rangée verticale.
Quel est le nombre minimum de dés noirs qu'il faudra utiliser ?


Problème n°2

Un fût contient 100 litres d'eau. On en retire 10 litres, puis on y rajoute 10 litres de vin et on mélange bien. Après cette première manipulation, on retire 10 litres du nouveau contenu, on rajoute à nouveau 10 litres de vin, on mélange. Combien de fois au minimum, faut-il répéter cette manipulation pour que le fût contienne plus de vin que d'eau (on comptera dans ce nombre la toute première manipulation) ?
(interdiction d'utiliser les logarithmes si vous les connaissez)

Problème n°3

Le lièvre a juré qu'on ne l'y prendrait plus. Cette fois, il part comme un trait, en même temps que la tortue qui va de son train de sénateur. Arrivé au but, il rebrousse aussitôt chemin et, quand il rencontre la tortue, celle-ci est encore à sept cent soixante mètres du but. Et il lui dit: "Ma pauvre amie, vois-tu bien que je vais vingt fois plus vite que toi !"
Quelle distance sépare le point de départ du but ?


Problème n°4

Trois nombres réels non nuls ont la propriété que chacun d'eux est égal au carré de la somme des deux autres. Quels sont ces trois nombres ?




Bonne chance !

Donc, oui, j'ai pris en note les 4 questions, j'ai déjà répondu à 2 questions et j'ai fait la moitié d'un autre (j'ai aussi tondu le gazon et tout et tout ), mais je ne pourrai pas poster mes démarches et mes réponses par mail parce que je m'en vais à mon chalet, et là bas, il n'y a pas de connexion internet...

Alors je propose de laisser jusqu'à mardi soir ou bien de recommencer avec de nouvelles épreuves la semaine prochaine...

DÉSOLÉ!

Je propose de laisser jusque mardi soir. Mais c'est à le_duche de trancher.

Moi, aussi j'ai trouvé certains trucs, il faudra que je le rédige demain.

Ok pour mardi soir avant minuit alors

J'ai reçu les solutions de payne

Chocolatman ! il serait temps de te réveiller, on a pas vu de trace de toi depuis quelque temps !

Je crains le pire, chocolatman ne s'est pas connecté depuis le 7 octobre date à laquelle j'ai posté les problèmes...

Peut etre qu'il ne sait pas que tout le monde l'attend...

Si si, il le sait ! Il a posté ceci après que tu aies posté les problèmes et que j'ai proposé que ce soit pour mardi soir :

chocolatman a écrit:Moi, aussi j'ai trouvé certains trucs, il faudra que je le rédige demain.

Bon j'ai le malheur de vous annoncer que chocolatman ne m'a renvoyé qu'un mp s'excusant de ne pas avoir le temps...
Je ne prend pas celà comme un forfait, je chalenge est donc toujours en suspend...
Cependant, j'ai reçu les solutions de payne, et il serait interesant de regarder ca d'un peu plus près.

Comme je m'y attendais, payne s'est rué sur des solutions qui n'en sont pas, par manque de lecture et de compréhension de l'énoncé, me semble-t-il !
Il m'a renvoyé ceci:

Bon, voici mes démarches :

#1 : Il est très simple de déterminer qu'il y aura 3 dés cubiques noirs par faces, multiplions le tout par le nombre de faces et HOP : 18

#2 : Au tout début, il y a 100% d'eau, ensuite, on enlève 10% du 100% et ajoute 10% de vin, cela répété jusqu'à ce qu'ily ai plus de vin que d'eau, voici mes calculs :

100% eau
90% eau 10% vin
-9 -1+10
81 19
-8,1 -1,9+10
72,9 27,1
-7,29 -2,71+10
etc...
jusqu'à :
47,82969% eau ET 52,17031% vin
Il y aura donc fallu recommencer 7 fois l'opération.

#3 : 760/20 = 38
760 + 38 = 798 mètres
Bon, pour celle-ci j'ai vraiment rien trouvé d'autre à part ce résonnement quelque peu stupide, mais bon...

#4 : Celui-ci est TROP simple : 3, 4 et 5
C'est comme faire un triangle rectangle avec la relation de Pythagore...
x^2+y^2=z^2
si x=3, y=4 et z=5
9+16=25

HEHE,

Bonne change chocolatman!

P.S: Ce message n'aurait jamais pu être réalisé sans l'unique collaboration de mes huit doigts (parce que mes ti' doigts me servent a rien)

La première solution vaut 0 !
Tu as oublié qu'un cube pouvait servir pour plusieurs petites facettes noires, selon qu'il se trouve sur une arête ou sur un coin !

La deuxième solution est correcte et te rapporte 10 points.

Pour le troisième problème, ton 760/20 laisse croire à un semblant d'idée, mais rien de plus. De plus la réponse est fausse. Dans ma grande bonté, je te met 1 point.

Pour le 4-ème, tu a vraiment mal lu l'énoncé. Il ne s'agissait pas de résoudre x²+y²=z². et quand bien même, la solution que tu donne n'est pas l'unique dans les entiers, et je n'avais pas précisé qu'il s'agissait d'entiers ! Ce qui te fait 0 point.

Total : 11 points.
Ce n'est pas si mal tout de meme. ce sont des problèmes issus des finales des olympiades belges pour les 5ème et 4ème.




Voici les "solutions officielles" (si on peut appeler ca comme ca ^^)


Problème n°1: (je met la solution d'ephemere à laquelle je n'avais pas pensé et qui est trèèèèèès élégante !)

Il s'agit de trouver le nombre minimum de cubes à utiliser. La réponse est 8, mais cela ne suffit pas évidemment. On en sera certain si je donne un exemple utilisant 8 cubes et si je démontre qu'il est impossible d'en utiliser moins.
Le dessin suivant donne un exemple de construction avec 8 cubes noirs:


Il s'agit maintenant de prouver qu'il est impossible de faire une telle construction avec moins de 8 cubes.
On peut voir notre grand cube comme 9 colonnes de 3 cubes (chacune de couleur différente sur le dessin suivant)

Pour que chaque colonne de chacune des 4 faces latérales possède une facette noire, il faut forcément que chacune des 8 colonnnes en couleur de notre cube possède au moins un cube noir. comme il y a 8 colonne, il faut au moins 8 cubes.
CQFD.


Problème n°2:

La solution de payne est bien suffisente.


Problème n°3:

Ce que l'on cherche c'est la distance entre la ligne de départ et la ligne d'arrivée. On appelle x cette distance. Et on va appeler v la vitesse de la tortue. La vitesse du lièvre est donc de 20v.
Quand le lièvre arrive au retour au niveau de la tortue, il a parcouru la distance totale plus 760 mètres: donc x+760.
La tortue quand à elle est encore à 760 mètres du but, elle n'a donc parcouru que x-760.
Le temps qu'a mis le lièvre pour faire cette distance est donné par cette distance divisé par sa vitesse, c'est à dire (x+760)/20v.
Le temps qu'a mis la tortue est (x-760)/v.
Mais ce temps est le même (puis que c'est le moment où ils se rencontrent à nouveau...)
Donc on a l'égalité
(x+760)/20v = (x-760)/v
qui se simplifie en
(x+760)/20 = (x-760)
ou encore
(x+760) = 20(x-760)
c'est à dire
x + 760 = 20x - 15200
<=>
19x = 15960
<=>
x = 15960/19 = 840
qui est la distance que l'on cherchait.
La distance entre la ligne de départ et la ligne d'arrivée est donc de 840 mètres.


Problème n°4:

La phrase veut dire que si ces trois nombres sont x,y et z, alors on a:
x = (y+z)²
y = (x+z)²
z = (x+y)²
Première chose: le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul. Donc x,y et z sont des réels strictement positifs.
Comme le problème reste le même lorsque l'on permute les variables entre elles (ont dit alors que le problème est symétrique en ses variables) on peut supposer que
0 < x <= y <= z.
Supposons un instant que
x < z
Alors ca veut dire que
(y+z)² < (x+y)²
comme x,y,z sont positifs, cela implique que
(y+z) < (x+y)
ce qui veut dire que
z < x
alors qu'on avaitsupposé que x < z.
Si on sait que x <= z et que x<z est faux, cela veut dire que x = z
Si x = z alors on a x = y = z.
Il nous reste donc à résoudre la simple équation
x = (x+x)²
c'est à dire
x = 4x²
Comme x > 0 on peut diviser par x
1 = 4x
ce qui nous fournit la solution
x = 1/4.

On a donc une seule solution à notre problème:
x = y = z = 1/4.