espace euclidien

j'ai plusieurs questions à vous poser!
1) dans un exo on a utiliser le fait que A+B = vect(A U B) , A et B des sous espaces vectoriels de E
vect(d'un vecteur) est l'espace engendré pas ce vecteur mais a quoi correspond vect(d'un ensemble) ?

maintenant quelques petits soucis avec mon DM....
Dans un exo on a un endomorphise f représenté par la matrice

(2 2 1)
A = 1/3 *(-2 1 2) dsl pr la présentation...
(1 -2 2)

je dois caratériser cette rotation vectorielle.
c'est la première fois qu'on a un exo sur ça alors je sais pas trop ou est mon erreur...
pour trouver l'axe j'ai cherché E1 le sous espace propre associé à la valeur propre 1 et j'ai trouvé E1= vect(-1/3 , -2/3 ,1) soit en le normant e1=(-1/ 14,-2/ 14 , 3/ 14)

pour trouver l'angle de rotation on cherche le cosinus et le sinus de l'angle
le cosinus est 1/3 ( avec la trace)
et ça se complique pr le sinus...
Je checrhe e2 un vecteur orthogonal a e1 , je choisis e2=(1/ 3, 1/ 3, 1/ 3)
je calcule f(e2)= (5/(3 3) , 1/(3 3) , 1/(3 3))
et puis f(e2)^e2 ( ^ vectorielle)
on a donc f(e2)^e2=( 0 , -4/9 ,4/9)
normalement on doit pouvoir exprimer ce dernier vecteur sous la forme sin(angle) * e1 ... mais la je ne peux pas...
j'ai aussi tenter avec une autre méthode , celle des matrices antisymétrique mais j'ai été bloqué aussi a cause de e1.. e1 est il bon?

dernière question
( | ) produit scalaire
( ( a|x)b |y)= (a|x) (b|y) ??? il doit y avoir un truc qui cloche...


si vous pouviez répondre à une au moins des questions avant lundi ça m'aiderait bcp!
merci!

Pour la lisibilité : c'est bien ça ta matrice ?

oui c'est ça... j'avais pas vu que ça c'était décallé....merci!

Je réponds en vitesse à deux des questions.



1) Si l'ensemble est noté X et si on joue sur le corps , alors je suppose que :

vect(X)={r_1.x_1+r_2.x_2+...+r_n.x_n tels que n , r_1,r_2,...,r_n et x_1, x_2,...,x_n:appartient: X}.



2) ( ( a|x)b |y)= (a|x) (b|y) ? La formule est correcte !

En effet, ( a|x ) représente le produit scalaire de deux vecteurs et donc est un nombre. Dans l'expression ( ( a|x)b |y), le nombre ( a|x ) est le coefficient du vecteur b. On peut sortir ce nombre de la première partie du produite scallaire et on obtient (a|x) (b|y). Le résultat total est un nombre, bien entendu.

OK merci bcp!

J'ai trouvé mon erreur pour ma question deux , c'était juste une erreur de signe pour le sous espace vectoriel E1
merci encore!