integrale

salut
je voudrais savoir pourquoi
integrale entre -l'infini et +l'infini de (exp(-Q^2))dQ = racine(pi)
merci d'avance

Salut le_passioné
Je pense à 2 méthodes (mais vu l'heure, je les posterai demain...).
La première est un chgt de var en coord polaires, la secondes, plus simple, consiste à se dire que l'intégrale de la fct de densité d'une loi normale standard vaut 1. Avec cela tu as ton résultat directement! La première, je le donnerai demain.

Il s'agit de l'intégrale de Gauss si je me souviens bien, n'est-ce pas ?

oui je sais mais j'ai besoin de la demonstration
les deux methodes s'il te plait sangoku

Méthode facile: on sait que l'intégrale de
1/(sqrt(2pi)) *exp[-(x^2)/2] vaut 1, car c'est l'intégrale entre -\infty et +\infty de la densité d'une loi normale. Un simple changement de variables (x/sqrt(2) = Q), puis une division par sqrt(pi) te permet de tomber sur cette fct à partir de ton intégrale de départ, et voilà, tu as sqrt(pi) (car si tu divises par sqrt(pi), il faut aussi mult par ce même facteur:-) ).

2ème méthode (plus astucieuse, mais elle a l'avantage que tu n'as pas besoin d'utiliser le résultat de la normale):
tu montres que le carré de ton intégrale vaut pi. ceci donne
int[exp(-x^2)] *int[exp(-y^2)]
=int int [exp(-x^2-y^2]dxdy
puis chgt en coord polaires
= int de 0 à infty [r exp[-r^2]dr] * int de à 2 pi [dp]
=1/2 * 2 pi
=pi

Ah je connaissais pas la deuxième méthode ! Elle est sympa !

salut
a propos de la deuxieme methode je comprends ce que y vient faire la dedans

et j'ai pas compris aussi le changement de variable en coordonnées ^polaires

ah le y. et bien
(int [f(x)dx])^2= int sur x * int sur y.

sinon, pour le chgt en coordonnées polaires, je pense que le plus utile soit une recherche google. en outre, connais-tu la notion de Jacobien?

salut
non je connais pas
je veux que tu m'explique ca doucement parceque j'ai un examen de mecanique quantique lundi et je sais pas comment calculer la condition de normalisation
si tu as le temps bien sur
merci

ooooh ok, on va essayer. Alors, si dans une intégrale unidim, tu fais un chgt de var y=f(x), et dois en tenir compte et multiplier le tout par la dérivée de f, on est bien d'accord.

Dans le cas multidim, le Jacobien est l'équivalent de la dérivée en qqes sortes. Mais crois-moi, une recherche google est bien plus efficace!

Bon je le fais pour toi: http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobienne

là tu as tout!
le chgt en coord pol se fait comme suit: x=r*cos(teta), y=r*sin(teta). En calculant le jacobien, tu obtiens r, d'où le r dans la formule d'intégration. Sinon, le exp(-x^2-y^2) devient un simple
exp(-r^2) si tu remplaces (x,y) par (r,teta).

Ca va mnt`?

oui merci
il faut croire qu'il me faudra beaucoup plus de temps pour etudier la mecanique quantique que prevu
merci beaucoup sangoku