Probabilité - problème d'urnes

Je suis dans la mouise, si qqun pouvait m'aider la dessus ça me serait grandement utile (pour mon mémoire de fin d'études)

Considérons m boules dont d noires.
On tire des boules sans les remettre jusqu'à tomber sur une noire.
Soit X la variable aléatoire du nombre de tirages nécessaires.
Montrer que l'espérence de X vaut (m+1)/(d+1)

J'ai fini par trouver:

La probabilité que la boule noire soit tirée au k-ème tirage est exactement:

Ainsi l'espérance est donnée par

Reste à prouver que cette crasse est égale à (m+1)/(d+1)


On peut transformer notre espérence:

lol, heureusement qu'il n'y a pas de probas en prépa !

N'ai pas si peur, ce que je viens de faire va plus loin qu'un cours de propa de première année de licence