trouver des constantes (calcul fractions)

Bonjour,

j'ai tout un exo sur des intégrales à faire, mais on ne peut pas faire la suite sans pouvoir répondre à la question 1 qui bien sûr...me bloque ^^

je vous la donne :


Soit la fonction :

f(x)= 1 / ( (x+1)² (x-1) )

1) Trouver des constantes réelles a, b, c telles que pour tout x différent de 1 et -1

f(x)=( a/(x+1)² ) + ( b/(x+1) ) + ( c/(x-1) )

(On pourra partir de cette deuxième forme, mettre au même dénominateur et identifier les coefficients de la première forme de f)

j'ai mis au même dénominateur, mais même après ça, je ne vois pas l'astuce, j'ai la forte manie de ne pas voir les choses évidentes ou simples qui sont devant mes yeux lol d'où mon appel à vous pour me les ouvrir...les yeux ^^

merci

Bonjour,

tu obtiens quoi une fois que t'as tout mis au même dénominateur ?

En faite je sais pas sous quel forme il faut voir...

sans développer on a :

( a(x+1)(x-1) + b(x+1)²(x-1) + c(x+1)²(x+1) ) / ( (x+1)² (x+1) (x-1) )

en developpant un peu on a :

( a(x²-1) + b(x^3 + x² - x -1) + c(x^3 + 3x² + 3x + 1) ) / ( (x+1)² (x+1) (x-1) )

...

Ah mais en fait, mettre tout sous le même dénominateur signifie : trouver le meilleur dénominateur commun. Et ce meilleur dénominateur commun n'est pas (x+1)² (x+1) (x-1) mais plutôt (x+1)² (x-1) car ton facteur x+1 se trouve déjà dans le dénominateur (x+1)² ...

Quand tu as tout mis sous ce dénominateur donc, tu identifies les deux polynômes des numérateurs. Tu comprends ?

mmmmoè lol

As-tu tout mis sous (x+1)² (x-1) comme dénominateur ?

Oui ça donne:

( a (x-1) + b (x²-1) + c (x+1)² / (x+1)² (x-1) )

OK c'est bien ça. A présent, il te faut tout développer pour obtenir un terme en x², un en x et une constante. Après quoi, tu identifies ce polynôme avec 1 car f(x)= 1 / ( (x+1)² (x-1) ).

J'attends ta réponse.

Bonjour,

alors en developpant on a donc :

( ax-a+bx²-b+cx²+2cx+c ) / (x+1)²(x-1)

c'est à dire : ( x²(b+c) + x(a+2c) - (a+b-c) ) / (x+1)²(x-1)

donc il faut que x²(b+c) + x(a+2c) - (a+b-c) = 1 ...

Matheux94 a écrit:donc il faut que x²(b+c) + x(a+2c) - (a+b-c) = 1 ...

Exactement. Maintenant, tu sais que deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degrè et leurs coefficients de leurs termes de même degrè sont deux à deux égaux.

Or 1=0x²+0x+1 donc tu obtiens un système qu'il te faut résoudre.

whouooouuu merciiiii

a= -1/2
b= -1/4
c= 1/4

après vérification, ça maaaaarche !

merci beaucoup !!

se fut long à la comprenette ^^ mais j'ai trouvé !! merci beaucoup à vous, sans qui je n'aurais à coup sûr jamais trouvé lol

comme le disais moi même: "vous êtes un dix pensable ce qui ne se multiplie pas de nos jours et à même tendance à se réduire avant même de se développer ! vive les maths "

merci et @++ (et oui certainement désolé lol) ^^

Avec plaisir et à binetôt ! Content de t'avoir aidé !

JUste pour info ^^

il faut après calculer l'intégrale
3
dx / ( (x+1)²(x-1) )
2

donc c'est de la forme u'/u² * v'/v c'est à dire -1/u * ln v ??

mais heu, faudrait pas utiliser ce qu'on a fait avant ? parce que si on nous a demandé les constantes c'est pour quelque chose je pense nan ?

merci pour la petite aide supplémentaire ^^

Oui, il te faut te servir de ce que tu as avant en effet.

Ton intégrale demandée est l'intégrale de 2 à 3 de 1/((x+1)²(x-1)) or 1/((x+1)²(x-1)) = ( a (x-1) + b (x²-1) + c (x+1)² / (x+1)² (x-1) ) (en remplaçant a, b et c par ce qui va bien).

ah oui voilà, ben du coup l'intégrale est simple ?? puisque là nous pouvons faire des simplifications au dénominateur.

finalement il nous reste que

-1/4 (de 2 à 3) x² dx

et je trouve -19/12

c'est ça ou... ça me parait un peu trop beaucoup bizarre cette affaire lol

Je ne sais pas comment tu trouves ça mais quand tu simplifies chacune de tes 3 fractions, il te reste du x en dénominateur... Pour celle avec le a par exemple, après simplification, il reste a/(x+1)² donc il te faut intégrer a/(1+x)² entre 2 et 3 et pareil pour les deux autres fractions...

Attends je me suis gourré en reprenant la formule !

bon pour faire simple lol

f(x)=-1/2(x+1)² -1/4(x+1)+1/4(x-1)

donc comme intégrale on a I= -1/2[-1/(x+1)] (de 2 à 3) - 1/4 [ln(x+1)] (de 2 à 3) + 1/4 [ln(x-1)] (de 2 à 3)

=-1/2 (-1/4+1/3) - 1/4(ln4-ln3) + 1/4(ln2-ln1)
c'est à dire -1/24 - 1/4(ln 4/3) + 1/4 ln2
= -1/24 - 1/4(ln 4/3-ln2)
= -1/24 -1/4(ln 2/3)

C'est le bon raisonnement. Après, si tu veux que je vérifie les calculs, dis-le moi.

si c'est possible oui j'aimerais bien si tu as un petit moment, merci

Et bien ça m'a l'air d'être juste !

génial !

quel rapidité, franchement je me remet pas de la qualité de tes interventions, ton forum est d'une aide grandiose, j'en parlerais autour de moi tiens !

Matheux94 a écrit:ton forum est d'une aide grandiose, j'en parlerais autour de moi tiens !

Avec plaisir !

mais attend qui a dit que c'était fini

lol, j'ai juste une dernière petite chose sur cet exo...

on demande après par changement de variable de déduire l'intégrale

ln3
e^t dt /(e^t+1)(e^t-1)
ln2

je l'ai fait il y a pas de problème,
donc on pose v(t)=e^t

après on démontre l'injectivité, la surjectivité, et donc la bijectivité, la dérivabilité, de dérivée continue etc... pas de problème !

mais je voulais juste savoir quelque chose ?

on retrouve quoiqu'il arrive le même résultat que l'intégrale d'avant n'est-ce pas ?

Matheux94 a écrit:
on retrouve quoiqu'il arrive le même résultat que l'intégrale d'avant n'est-ce pas ?

C'est sûrement le but de l'exercice !

Mais justement, il ne manquerait pas un carré par hasard ? (e^t+1)² au lieu de (e^t+1) ?

sisi oui ^^

oki oki merci beaucoup de m'avoir aidé !!