Problème d'Octobre 2006
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Problème d'Octobre 2006
par samir Dim 1 Oct 2006 - 12:05
Dernière édition par le Ven 3 Nov 2006 - 9:36, édité 1 fois
samir- Membre
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Re: Problème d'Octobre 2006
par samir Dim 1 Oct 2006 - 12:11
Bonjour
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL
problemedumois@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution envoyée"
Merci
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problemedumois@yahoo.fr
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samir- Membre
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Re: Problème d'Octobre 2006
par Duche Ven 6 Oct 2006 - 14:57
Une petite précision serait la bienvenue:
quand tu dis "inférieur à 100", c'est strictement inférieur ou inférieur ou égal ?
Je sais que c'est souvent une source de malentendus !
quand tu dis "inférieur à 100", c'est strictement inférieur ou inférieur ou égal ?
Je sais que c'est souvent une source de malentendus !
Duche- Modérateur
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Re: Problème d'Octobre 2006
par Duche Ven 6 Oct 2006 - 15:23
Solution postée !
voici la solution de le_duche
Reconsidérons le problème:
Nous avons devant nous l'ensemble des nombres entiers de 1 à 99, et nous souhaitons en puiser 55 de telle manière que la diférence de deux quelconques de ces nombres ne soit jamais 9.
On peut formuler ce choix des 55 nombres de façon différente:
Considérons une suite de 99 cases numérotées de 1 à 99. On voudrait pouvoir colorier 55 de ces cases sans que deux case disposée à 9 cases l'une de l'autre ne soit coloriée.
Pour construire une telle situation, on peut procéder de la manière suivante.
On colorie en noir et dans l'ordre croissant chaque case que l'on veut sélectionner. De plus, chaque fois que l'on colorie une case en noir, on colorie en rouge la case qui se trouve 9 cases plus loin (excepté lorsque la case coloriée en noir est l'une des cases 91,92,93,...,99), et evidemment on ne colorie jamais en noir une case qui est déjà coloriée en rouge.
On a donc des coloriages de cases qui coutent 1 case (les coloriage en noir des cases 91,92,93,...,99) et des coloriages qui coutent deux cases (les coloriages en noir et rouge des cases 1,2,3,...,90)
En maximisant le nombre de coloriages qui coutent une seule case, on maximise le nombre de cases noires.
On a donc de cette façon les 9 cases 91,92,93,...,99 coloriée en noir, et il nous reste 90 cases à colorier en noir et rouge, cela ne permet pas plus de 45 cases en noir.
On obtient donc un total de 45+9=54 cases noires.
Il est donc impossible de colorier 55 cases en noir tout en respectant le contrat de départ.
Il existe donc deux des nombres choisis dont la différence vaut 9.(une solution très longue (samir))
voici la solution de le_duche
Reconsidérons le problème:
Nous avons devant nous l'ensemble des nombres entiers de 1 à 99, et nous souhaitons en puiser 55 de telle manière que la diférence de deux quelconques de ces nombres ne soit jamais 9.
On peut formuler ce choix des 55 nombres de façon différente:
Considérons une suite de 99 cases numérotées de 1 à 99. On voudrait pouvoir colorier 55 de ces cases sans que deux case disposée à 9 cases l'une de l'autre ne soit coloriée.
Pour construire une telle situation, on peut procéder de la manière suivante.
On colorie en noir et dans l'ordre croissant chaque case que l'on veut sélectionner. De plus, chaque fois que l'on colorie une case en noir, on colorie en rouge la case qui se trouve 9 cases plus loin (excepté lorsque la case coloriée en noir est l'une des cases 91,92,93,...,99), et evidemment on ne colorie jamais en noir une case qui est déjà coloriée en rouge.
On a donc des coloriages de cases qui coutent 1 case (les coloriage en noir des cases 91,92,93,...,99) et des coloriages qui coutent deux cases (les coloriages en noir et rouge des cases 1,2,3,...,90)
En maximisant le nombre de coloriages qui coutent une seule case, on maximise le nombre de cases noires.
On a donc de cette façon les 9 cases 91,92,93,...,99 coloriée en noir, et il nous reste 90 cases à colorier en noir et rouge, cela ne permet pas plus de 45 cases en noir.
On obtient donc un total de 45+9=54 cases noires.
Il est donc impossible de colorier 55 cases en noir tout en respectant le contrat de départ.
Il existe donc deux des nombres choisis dont la différence vaut 9.(une solution très longue (samir))
Duche- Modérateur
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Re: Problème d'Octobre 2006
par samir Ven 3 Nov 2006 - 9:31
bravo à le_duche .
la réponse de le_duche et la réponse officiellent seront sur le site du le dimanche prochain car j'ai proposer le meme problème comme un problème de la semiane sur mon site .
voir Problème de la semaine N°53
la réponse de le_duche et la réponse officiellent seront sur le site du le dimanche prochain car j'ai proposer le meme problème comme un problème de la semiane sur mon site .
voir Problème de la semaine N°53
samir- Membre
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Re: Problème d'Octobre 2006
par ephemere Ven 3 Nov 2006 - 13:33
Ah, c'est ton site !
Félicitations, c'est un beau site de mathématiques.
Félicitations, c'est un beau site de mathématiques.
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Re: Problème d'Octobre 2006
par samir Ven 3 Nov 2006 - 22:50
merci ephemereephemere a écrit:Ah, c'est ton site !
Félicitations, c'est un beau site de mathématiques.
samir- Membre
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Re: Problème d'Octobre 2006
par samir Lun 6 Nov 2006 - 11:48
solution officielle du problème d'Octobre
soit F = {x+9, pour tout x dans E} ==> card(F) = card(E) = 55
E est inclus dans [1,100] Inter N
F est inclus dans [10,109] Inter N ==> card(E U F) <= 109
Donc card(E Inter F) = card(E) + card(F) - card(E U F) >= 1
Donc il existe y de E tel que y est dans F, donc x = y-9 dans E, donc y - x
= 9 avec x et y dans E
soit F = {x+9, pour tout x dans E} ==> card(F) = card(E) = 55
E est inclus dans [1,100] Inter N
F est inclus dans [10,109] Inter N ==> card(E U F) <= 109
Donc card(E Inter F) = card(E) + card(F) - card(E U F) >= 1
Donc il existe y de E tel que y est dans F, donc x = y-9 dans E, donc y - x
= 9 avec x et y dans E
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Re: Problème d'Octobre 2006
par Duche Lun 6 Nov 2006 - 17:10
C'est une solution longue car il y a beaucoup de blabla, mais l'idée en elle même est plus simple ^^
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