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Concours de l'Association Mathématique du Québec

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Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par payne le Sam 24 Mar 2007 - 1:33

1. Les trois triangles
Trois droites concourantes sont jointes pour former trois triangles.
Calculez la somme des angles a,b,c,d,e et f étant les angles intérieurs non opposés par leur sommet.

2. Les deux polygones réguliers
Deux polyfones réguliers ont un total de dix-sept sommets et de cinquante-trois diagonales.
Calculez le nombre des sommets de chacun des deux polygones.

3. L'abdomen de Jean
Après son repas, l'abdomen de Jean a pris de l'expansion. Comme Jean est mathématicien, il s'amuse, en sirotant son digestif, à résoudre l'alphamétique
JEAN x JEAN = ABDOMEN
Il constate avec ravissement que JEAN correspond à son année de naissance!
Quelle était cette année bénie?

4. Des chiffres 1 dans le cube
Le cube de 345 est
345^3 = 345 x 345 x 345 = 41 063 625,
un nombre qui se termine par 625.
Trouvez le plus petit nombre dont le cube se termine par 111.

5. Les problèmes faciles
André, Bernard et Cécile s'amusaient à résoudre des problèmes de géométrie. André en a résolu 65, Bernard 75 et Cécile 80. À eux trois, ils en ont résolu en tout 120.
Appelons facile un problème qu'ils ont tous résolu et difficile celui qu'un seul des trois a résolu.
Combien de problèmes faciles y avait-il de plus que de problèmes difficiles?

6. Division par 9
Calculez le reste de la division de 8^2007 par 9.
Répétez ce calcul pour 8^2008.

7. Le fabriquant d'abat-jours
Monsieur A. Bajour fabrique des abat-jours ayanr la forme d'une pyramide tronquée à base carrée. Les trapèzes isocèles formant la surface de ses abat-jours ont les dimensions, en cm, données dans la seconde figure. Chaque abat-jour doit être expédié dans une boîte ayant la forme d'un prisme droit à base carrée qui soit la plus petite possible.
Quelle est l'aire totale d'une telle boîte?
P.S: La pyramide doit être déposée dans la boîte de façon à ce que sa base touche le fond de la boîte.



Voilà... de jolies problèmes ardues et divertissants! Celui qui les a toutes en un certain laps de temps m'impressionne! (Ça veut dire, chronomètrez-vous lorsque vous le ferez!)

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Mathboy le Jeu 10 Jan 2008 - 21:52

3. Jean est né en 1936
J E A N x J E A N = A B D O M E N
1 9 3 6 x 1 9 3 6 = 3 7 4 8 0 9 6

lol!
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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Mathboy le Jeu 10 Jan 2008 - 22:06

5. la question est bien posée puisquon peut trouver la difference entre le nombre de question faciles et difficile mais pas le nombre de questions faciles ni difficile..

la réponse est 25 Wink
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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Mathboy le Jeu 10 Jan 2008 - 22:17

6. Pour résoudre ce genre d'exercice il faut commencer par le commencement... je m'xplique :

calculer 8^1 puis 8^2 puis 8^3 puis 8^4 (et les diviser par 9) on s'aperçoit rapidement quil ya deux categories de restes ...
ceux de puissances paires et ceux de puissance impaire on peut noter simplement que le reste de 8^1 / 9 est égal à 8
et le reste de 8^2 / 9 est égal à 1
.... ... ... ...
le reste de 8^2007 / 9 est égal à 8
et le reste de 8^2008 / 9 est égal à 1
on peut meme aller rapidement et voyager dans le temps et aller à l'an 3000... ==> le reste égal 1

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par C-line le Mar 28 Oct 2008 - 21:40

4. D'abord il faut voir pour quelles unités A^3 se termine par 1 (A=chiffre) Et on en déduit que c'est valable seulement pour A=1 (ca sera le chiffre des unités du nombre que l'on cherche)
Ensuite il suffit de poser le carré d'un nombre de 3 chiffres se terminant par A ( CBA² ) puis on multiplie le nombre en lettre obtenu pour former CBA^3 (on ne se préoccupe que des 3 dernières combinaisons de lettres).
Ainsi on arrive à former une équation pour trouver le chiffre des dizaines:
3*B doit donner le chiffre des dizaines (1) : on en déduit donc que B =7 puisque 7 est le seul chiffre qui peut être multiplié par 3 pour former un nombre dont le chiffre des unités est égale à 1.
Donc notre nombre de départ a 7 pour chiffre des dizaines et 1 pour unités, et ses trois derniers chiffres peuvent s'écrire C71.
Pour trouver le chiffre des centaines C, il faut reposer le cube de "C71" pour ne pas oublier des unités qu'on a pas pu abaisser (ne connaissant pas la valeur de B) lors de la multiplication.
On obtient donc C=4

ABC=471 donc le nombre le plus petit dont le cube de termine par 111 est 471
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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par C-line le Mer 29 Oct 2008 - 16:16

1. 360°
Mais la réponse me parait trop simple pour être juste. Je pense que j'ai du mal comprendre la question. Donc si quelqu'un pouvait vérifier...
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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Duche le Mer 29 Oct 2008 - 16:44

La première est mal exprimée. Il doit y avoir un dessin avec pcq là c'est pas du tout clair.

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Duche le Mer 29 Oct 2008 - 17:00

Pour la 2 c'est très simple.
Le nombre de diagonales d'un polygone à n côtés est n(n-3)/2.
En posant m et n les nombres de côtés des deux polygones il suffit de résoudre le systeme d'équations
[ m + n = 17
[ m(m-3)/2 + n(n-3)/2 = 53
Qui a pour solutions (m,n) = (6,11) et (m,n) = (11,6)

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Duche le Mer 29 Oct 2008 - 17:35

Si deux lettres différentes peuvent prendre la même valeur les solutions sont
1421 x 1421 = 2019241
1726 x 1726 = 2979076
1936 x 1936 = 3748096
2040 x 2040 = 4161600
2146 x 2146 = 4605316
2255 x 2255 = 5085025
2356 x 2356 = 5550736
2566 x 2566 = 6584356
2776 x 2776 = 7706176
2986 x 2986 = 8916196
3090 x 3090 = 9548100

Sinon, 1936 x 1936 = 3748096 est la seule solution.

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par DEB le Mer 29 Oct 2008 - 17:45

Duche a écrit:Pour la 2 c'est très simple.
Le nombre de diagonales d'un polygone à n côtés est n(n-3)/2.
En posant m et n les nombres de côtés des deux polygones il suffit de résoudre le systeme d'équations
[ m + n = 17
[ m(m-3)/2 + n(n-3)/2 = 53
Qui a pour solutions (m,n) = (6,11) et (m,n) = (11,6)
Zut j'ai été doublé... ^^
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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Duche le Mer 29 Oct 2008 - 19:23

Pour le 4 il y a beaucoup de blabla, alors je vais rester assez bref, à vous de comprendre les détails du raisonnement.

Soit x le nombre initial. Notons x1,x2,x3 les trois derniers chiffres de x en partant de la fin (donc x = ...x3x2x1). Notons t = x^3. de même les trois derniers chiffres de t sont t1,t2 et t3.
On voit que t1 = x1^3 (mod 10).
Regardons donc les cube modulo 10 des nombres de 0 à 9.
0^3 = 0
1^3 = 1
2^3 = 8
3^3 = 7
4^3 = 4
5^3 = 5
6^3 = 6
7^3 = 3
8^3 = 2
9^3 = 9
Ainsi on conclut immédiatement que x = 10y+1

On calcule x^3 = 1000y^3 + 300y^2 + 30y + 1
Idem, les derniers chiffres de y dans l'ordre inverse sont y1,y2,...
Ainsi, on voit immédiatement que t2 = 3y1 (mod 10)
Regardons donc les multiples de 3 modulo 10
3.0 = 0
3.1 = 3
3.2 = 6
3.3 = 9
3.4 = 2
3.5 = 5
3.6 = 8
3.7 = 1
3.8 = 4
3.9 = 7
Cette fois on voit que y1 = x2 = 7.
Donc x = 100z+71
x^3 = 1000000z^3 + 2130000z^2 + 1512300z + 357911
Encore une fois le dernier chiffre de z est z1.

La ça se corse. t3 est donné par 3z1 + 9
Regardons donc les valeurs de 3z1+9 modulo 10 quand z1 varie entre 0 et 9.
3.0+9 = 9
3.1+9 = 2
3.2+9 = 5
3.3+9 = 8
3.4+9 = 1
On peut s'arrêter là puisqu'on cherche le plus petit.
On voit que lorsque z1=4 on a t3=1.
Ainsi, il faut que le nombre x termine par 471.
Le plus petit possible est bien sur 471 dont le cube est 104487111.

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par C-line le Mer 29 Oct 2008 - 20:08

Super rédaction Duche !
Je ne savais vraiment pas comment exprimer la solution correctement même sachant que les congruences s'y cachaient dessous. Je te vénère cheers
Nan mais j'ai vraiment de sérieux progrès à faire... Shocked

Et pour la première question, voici ci-dessous le schéma sur lequel je me suis basée.
Ce sont bien 3 triangles formés par trois droites disposées selon l'énoncé (merci DEB)
la somme des angles rouges =180° ; somme des angles verts=180° ...d'où les 360°

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par DEB le Mer 29 Oct 2008 - 20:39

On peut aussi dire avec cette figure que ces 6 angles appartienne à deux triangles, comme la somme des angles = 180°, la sommes des angles est de 360°.
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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par C-line le Mer 29 Oct 2008 - 20:54

Ouép, mais tu ne trouves pas cette un peu... simple pour un concours lol? Je suis sûre qu'on a mal interprété l'énoncé...
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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par payne le Jeu 30 Oct 2008 - 19:17

Lol! Vous êtes pas mal en retard pour répondre à ça, mais bon Razz
J'apprécie ^^
Duche, c'est quoi un modulo? :O
J'aimerais vraiment comprendre la totalité de ta démarche :O

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Duche le Jeu 30 Oct 2008 - 23:32

En gros (même si c'est pas tout à fait ça)
a modulo b
c'est le reste de la division de a par b
Par exemple
27 (mod 10) = 7
33 (mod 2) = 1
23 (mod 5) = 3

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par payne le Ven 31 Oct 2008 - 0:15

Le reste de 33/2 != 1
J'suis tout fourré Razz

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Duche le Ven 31 Oct 2008 - 0:28

33 = 16 x 2 + 1 non ? 0_o

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par payne le Ven 31 Oct 2008 - 0:40

Ah okay!
Je pensais que c'était le résultat après la virgule dans la division 33/2, ce qui n'était pas 1, mais bien 5 Razz

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par Duche le Ven 31 Oct 2008 - 7:02

Le reste... t'as jamais fait de division écrite ???

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par payne le Sam 1 Nov 2008 - 16:23

Oui, mais au lieu de faire "+1", on faisait "+ reste/dénominateur" Razz

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Re: Concours de l'Association Mathématique du Québec

Message par C-line le Sam 1 Nov 2008 - 21:11

payne a écrit:Lol! Vous êtes pas mal en retard pour répondre à ça, mais bon Razz
J'apprécie ^^
Duche, c'est quoi un modulo? :O
J'aimerais vraiment comprendre la totalité de ta démarche :O

J'admets ^_^
Pour ma part, je suis une revenante du forum que j'avais délaissé quelques mois; donc maintenant je le fouille un peu de ci de là quand j'ai du temps Razz
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