probabilité

Bonsoir je n'arrive pas à faire cet exercice:

On dispose d'un jeu de 52 cartes. Combien y-a-t-il de mains de 5 cartes prises dans ce jeu, ne contenant que des cartes de valeurs différentes?

pouvez vous m'aider svp?

EDIT Duche:

/!\ ATTENTION cette solution me semble fausse /!\


Salut minidiane


une main est une combinaison , l'ordre n'a pas d'importance


ma notation pour ecrire sur le forum (nCp) pour CnP


Alors on denombre les mains de 5 cartes: ((52C5)=2598960
et on retire les mains possedant 2,3,4 et 5 valeurs identiques


5 cas se presentent:

-2 valeurs identiques d'un type + 3 val identique d'une autre type different du 1er (a)
qui font la main de 5cartes
(ex :2as+3Rois )

(4C2) mult 13 =78 facon de prendre 2cartes de meme valeur sur le jeu

(4C3 mult 12 =48 facons de prendre 3 cartes de meme valeur sur le jeu restant apres avoir pris la paire d'une autre valeur


d'ou 78 fois 48 =3744=(a)


4C2 c'est 2 val identiques parmi 4 couleurs
4C3 C'est 3 val " """"""""""""""""""""""""""""""""""
13 c'est le nombres de valeurs totale




2 val identiques et 3 differentes (b)
(ie par ex 2as+1 2+1 valet+1Dame)

(4C2) fois13 val = 78

(48C3)-{(4C3) fois 12 + (4C2)fois 11}=17182

(b)= 78 fois 17182=1340196

explication : il faut prendre 3cartes quelconques parmi les 48 restante apres le choix de la 1ere valeur mais il faut retirer les cas ou on a exactement 3 val identiques suplementaire et 2val identiques supplementaire...

(c) 3 val identique+ 2 val quelconque

(4C3)fois 13=52

(48C2)-{(4C2) fois 12}=1056

explication on doit tirer 2 cartes de meme valeur parmi les 48 autorisée 48C2, mais retirer le cas ou elle sont iden tiques:2cartes parmi 4couleurs et cela authorisé 12 fois car le 13eme est pris par les 3val identique

(c)= 52 fois 1056 =54912


(d) 4 valeurs identiques :il y a 13 valeurs differentes(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,V,D,R) multiplié par (1C(52-4=48 (la 5eme carte quelconque)= >13 fois 48 =624


(e) 5 valeurs identiques : 0 car il n'y a que 4 couleurs



il vient finalement :2598960 -a-b-c-d-e=
2598960-3744-1340196-1056-54912-624

= 1198428

voila apres quelques heures de labeur quand on a oublier sa combinatoire, ne prend pas ca pour argent content;j'aimerai que d'autres refassent le raisonnement et le calcul

amicalement a ton service
arthur.gauss

Comme je l'ai mis ci dessus, cette solution est fausse.
Je n'ai pas envie de chercher exactement où dans ton immense démonstration...

Ma solution est bien plus simple.

Commençons par compter le nombre de possibilités en fixant l'ordre des cartes. Il n'y a aucune contrainte sur la première carte, ce qui nous fait 52 possibilités. Pour la seconde carte, afin de rester valide, il ne nous reste plus que 48 cartes possible (les 51 carte restantes desquelles on supprimes les 3 cartes de même valeur que la première choisie). Pour la troisième carte, il faut cette fois retirer 6 cartes des 50 restantes, ce qui nous fait 44 cartes possibles. Et ainsi de suite, nous avons 40 possibilités pour la 4ème carte, et 36 possibilités pour la 5ème.

Voila qui nous fait donc 52*48*44*40*36 mains possibles si on tient compte de l'ordre des cartes dans la main.

Pour annuler cet ordre, il suffit de diviser par le nombre de permutation de 5 cartes. Pour rappel, le nombre de permutations de n objets distincts est n!

Le nombre de mains demandé est ainsi 52*48*44*40*36/(5!) = 1317888

Merci Duche, d'avoir trouvé pour minidiane cette solution si simple et si elegante, la mienne ne me plaisait guère d'ailleurs trop complexe pour eviter les nombreuses sources d'erreurs....tant pis je n'abandonne pas ...et j'essaierai dans le futur de donner des solutions justes

A bientot
arthur.gauss