Problème n°8

par **Julien** Sam 21 Aoû 2010 - 18:12

Trouver toutes les fonctions f telles que f(-tan(x))+2f(tan(x))=2sin(x), pour tout x Problème n°8 824813

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/2 [.

par bloups Dim 22 Aoû 2010 - 9:15

quelle est ce type d'équation car j'en ai jamais vu Shocked

par **Julien** Dim 22 Aoû 2010 - 9:27

Il s'agit d'une équation fonctionnelle : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_fonctionnelle

Juste bloups, quel est ton niveau d'études ?

par bloups Dim 22 Aoû 2010 - 9:38

je suis en licence de maths

par bloups Dim 22 Aoû 2010 - 12:58

petit indice? car j'ai aucune idée Embarassed

par **Julien** Dim 22 Aoû 2010 - 13:31

Ouos, je viens de voir que je m'étais trompé dans l'énoncé.

Indice : pose t=tan(x).

par bloups Dim 22 Aoû 2010 - 15:00

j'arrive à:

f(-t)+2f(t)=2t/( Problème n°8 254525

(1+t²))

Mais je ne vois pas en quoi ca m'aide? Y-a-t-il une méthode pour résoudre ce type d'équations?

PS:Le forum à 1h07min de retard. J'ai posté mon message à 17h07 et on m'écrit 16h dans le forum

par **Julien** Dim 22 Aoû 2010 - 15:29

Pourquoi une racine carrée ?

La méthode je ne sais pas, mais l'idée, c'est d'arriver à exprimer f(t) en fonction de t.

Donc maintenant, on a f(-t)+2f(t)=2t/(1+t²).

Si tu changes t et -t, ça donne quoi ?

par bloups Dim 22 Aoû 2010 - 15:41

il y a bien une racine carrée c'est la valeur de sin artan t

par bloups Dim 22 Aoû 2010 - 15:43

en changeant t en -t on arrive à

f(t)+2f(-t)=-f(-t)-2f(t)

par **Julien** Dim 22 Aoû 2010 - 16:33

bloups a écrit:il y a bien une racine carrée c'est la valeur de sin artan t

Regarde par ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_trigonom%C3%A9trique#Formules_impliquant_la_.C2.AB_tangente_de_l.27arc_moiti.C3.A9_.C2.BB

par bloups Dim 22 Aoû 2010 - 16:37

mais je vois une racine carrée

ou peut être qu'on parle pas de la même chose

PS:il n'y a pas un f dans la partie droite de l'égalité

par **Julien** Dim 22 Aoû 2010 - 17:08

Non il n'y en a pas. Dans la partie Formules impliquant la « tangente de l'arc moitié » avec sin(x)...

Et il n'y a pas de f dans la 2° partie.

par bloups Dim 22 Aoû 2010 - 17:13

ah je vois ou est le problème
t=tanx Problème n°8 1915

arctant=x

moi je suis passé par l'arc tangente

Ce que tu dis Julien est vrai quand on pose t=tan(x/2) or ici on pose t=tanx d'après ce que tu m'as dit

par **Julien** Lun 23 Aoû 2010 - 6:56

bloups a écrit:Ce que tu dis Julien est vrai quand on pose t=tan(x/2) or ici on pose t=tanx d'après ce que tu m'as dit

De même que la formule exprime sin(x) et non sin(2x) comme dans l'énoncé. Donc tout est cohérent.

par bloups Lun 23 Aoû 2010 - 10:16

j'ai changé t en -t et j'ai trouvé la nouvelle expression de mon message précédent
f(t)+2f(-t)=-f(-t)-2f(t) Problème n°8 1915

3f(t)+3f(-t)=0 Problème n°8 1915

f(-t)=-f(t)

donc f est impaire

je continuerais à cherché plus tard

par bloups Lun 23 Aoû 2010 - 14:46

la fonction qui convient est:
f:t->t/(1+t²)

par **Julien** Lun 23 Aoû 2010 - 14:48

C'est bien ce que j'ai trouvé il me semble. Wink

Si tu veux laisser ta démo...

par bloups Lun 23 Aoû 2010 - 17:11

je pense pas qu'il y ait besoin d'une démo, suffit de suivre les indications que tu m'as donnés ca suffit largement.
Mais j'ai remarqué que cette équation était relativement simple comparé à d'autre (cf poly d'animaths équations fonctionnelles)

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