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comment trouver l'equation d'une courbe connaissant 2 tangentes ??

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comment trouver l'equation d'une courbe connaissant 2 tangentes ??

Message par sarah00 le Dim 13 Jan 2013 - 12:56

bonjour,
jai un DM a rendre pour demain dont voici l'ennonce :
on cherche une courbe C qui passe par les points A(0;0), B(3;-3) qui admet pour tangentes en A et B les droitr (AC) et (BD) ou C( -1;5) et D( 5;1)
Soit fe une fonction derivable sur R dont C serait la courbe representative. Est il possible de trouver f(x) sous la forme f(x)= ax^3 + bx² + cx + d ou a b c et d sont des reels ?

On travail sur les derivées et on a pas fait dexercies pour trouver les courbes a partir des tangentes mais jai essayer de raisonner un peu sur le coeff direc des tangentes pour remonter a l'equatioon de la courbe mais je bloque un peu... Donc si quelque un pouvait mexpliquer un peu ce que je doit faire pour trouver la courbe ce serait sympa ^^

mercii d'avoir pris le temps de lire ce poste Smile

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Re: comment trouver l'equation d'une courbe connaissant 2 tangentes ??

Message par Archibald Birseaufoys le Sam 14 Déc 2013 - 17:29

Pour commencer, il faut de la méthode.

Et on peut citer Voltaire : "Entre un cercle et sa tangente, on peut faire passer autant de courbes que l'on veut, mais aucune droite." En fait, la droite, ici, c'est la tangente.

Bon. Prenons les choses dans l'ordre. Ce que dit Voltaire pour un cercle est vrai pour à peu près n'importe quelle courbe : il existe une infinité de solutions.

Mais dans le cas présent, on a quelques informations.

D'abord, ce qu'on cherche : une fonction y=f(x)

Puis deux contraintes pour les valeurs de cette fonction, dont le graphe doit passer par les points A et B.

Avec les données du problème, on a donc pour le point A :
f(0)=0 ;

et pour le point B :
f(3)=-3

On nous impose en outre les contraintes pour les tangentes en A et B. Et on suppose que la fonction est dérivable. Alors, il suffit d'écrire ce que cela signifie, en se souvenant que la valeur de la fonction dérivée est la pente de la tangente. Et la pente entre deux points, qu'est-ce que c'est ? C'est la différence des y divisée par la différence des x. Ce machin porte un nom dans le jargon des maths : c'est le coefficient directeur. Bon, comme on a tout ça, on obtient pour le point A :
f'(0) = (yc - ya) / (xc - xa) = (5 - 0) / (-1 - 0) = -5 ;

et pour le point B :
f'(3) = (yd - yb) / (xd - xb) = (1 - (-3)) / (5 - 3) = 4 / 2 = 2

Avec les données du problème, nous avons en tout et pour tout quatre contraintes.

On nous demande s'il est possible de trouver une courbe correspondant à un polynôme du troisième degré (à quatre coefficients). La réponse est oui, a priori, puisqu'on peut obtenir quatre équations qui vont nous permettre de déterminer nos quatre inconnues, les coefficients du polynôme.

Soit f(x) = a.x^3 + b.x^2 + c.x + d ;
et la dérivée f'(x) = 3.a.x^2 + 2.b.x + c

Puis, on obtient les équations :
pour le point A
a.0^3 + b.0^2 + c.0 + d = 0         [1]
3.a.0^2 + 2.b.0 + c = -5             [2]

et pour le point B
a.3^3 + b.3^2 + c.3 + d = -3       [3]
3.a.3^2 + 2.b.3 + c = 2             [4]

[1] nous donne immédiatement d = 0 ;
[2] nous donne immédiatement c = -5 ;
On peut alors remplacer dans les deux autres équations, ce qui conduit à
[3] 27.a + 9.b - 15 = -3
[4] 27.a + 6.b - 5 = 2

Puis on exprime b en fonction de a, avec l'équation [3]
b = (-3 + 15 - 27.a) / 9
et on remplace dans l'équation [4]
27.a + 6.(-3 + 15 - 27.a) / 9 - 5 = 2, qui nous donne la valeur de a, de laquelle on déduit la valeur de b.

Bon, d'accord, pour le 14 janvier 2013, c'est un peu tard. Mais si ça peut servir à d'autres...
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Archibald Birseaufoys
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