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Théorème de la boule chevelue

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Théorème de la boule chevelue Empty Théorème de la boule chevelue

Message par otto le Ven 8 Avr 2005 - 16:23

Salut,
imaginons que l'on ai 2 fonctions f et g, repsectivement de x et de y.
Si on trouve une relation du type f(x)=g(y) pour tout x et y, il est clair que f et g sont constantes.

Maintenant changeons un peu tout cas.

Prenons une forme géométrique quelconque, et une fonction définie sur notre forme. Si on crée un lien entre la forme, et la fonction, pour toute fonction et toute forme, c'est en fait que la forme et notre fonction sont dépendantes.
Par exemple, si je prend un quadrilatère et une fonction et que je montre que le maximum de ma fonction est toujours égale au périmètre de mon hexagone, alors j'aurai trouvé une relation entre 2 objets qui a priori n'ont aucun rapport... et c'est donc très puissant puisque je n'aurai pas besoin de connaitre ma fonction pour connaitre son maximum, et a l'inverse si je connais ma fonction, je n'ai pas besoin de connaitre la forme de mon quadrilatère pour connaitre son périmètre.... C'est donc très puissant...
On se servira de ceci plus loin...

Prenons une variété différentielle M (une sorte de tissu auquel on peut faire prendre n'importe quelle forme lisse), et prenons un champ de vecteurs X sur M.

Un théorème extrêmement puissant, nous dit que
l'intégrale sur M de Ksigma = 2PI somme sur i des I(X,pi)
Ce théorème s'appelle le théorème de Gauss-Bonnet.(PI est le nombre pi est le point p indice i)

Sigma correspond un peu au "dx" pour une intégrale classique, c'est ce qu'on appelle la forme de volume de M. K est la courbure gaussienne, c'est à dire qu'en chaque point p, K(p) donne la courbure de la variété. Un peu comme un cercle qui serait de courbure 1, ou une parabole, dont la courbure change tout le temps.
De l'autre coté on a maintenant que I(X,pi) est l'indice du champ X au point pi. C'est pas très difficile à définir avec les mains, mais en réalité c'est pas évident:
pi c'est un point ou le champ est nul (par exemple, pour un champ de gravité, on serait en impesanteur)
On se donne une petite courbe autour de pi, et on lui fixe un vecteur. L'indice du champ X au point pi =I(X,pi) c'est le nombre de fois que le vecteur tourne sur lui même (compté positivement s'il tourne dans le sens trigo, et négativement dans le sens horaire), notamment s'il n'y a aucun point ou le champ est nul, la somme des I(X,pi)=0

On voit alors que l'on a une égalité entre une quantité qui dépend purement de la structure de notre variété (comment est découpé et déformé notre tissu) et une quantité purement relative au champ de vecteurs qu'on se donne sur M.

Notamment, d'après ce que l'on a dit plus haut, ces des quantités sont "censées" indépendantes et pourtant sont égales, donc en fait elles sont constantes.(on appelle ceci la caractéristique d'euler notée Khi(M))

Maintenant, regardons ce qui se passe pour une sphère, on a encore le résultat, notamment on peut montrer (calculatoire, bien que pas trop difficile) que cette constante vaut 2.
Si cette constante vaut 2, c'est forcément qu'il y'a un point au moins ou le champ s'annule. (sinon on aurait 0)

Prenons maintenant une tête:
une tête est "comme" une sphère (le mot "comme" signifiant en réalité homéomorphe, et est plus rigoureux, mais on a pas besoin d'autant de rigueur). Donc sa caractéristique d'euler est 2. Considérons les cheveux sur la tête, comme un champ de vecteurs sur notre tête.
Notamment la somme des I(X,pi)=2 d'après ce que l'on vient de dire. Donc il y'a au moins un point de notre tête où le champ (ici la chevelure) est nulle. En d'autres termes plus français, c'est un épis...

Conclusion:
Il n'existe aucune façon de se coiffer, sans avoir d'épis.
CQFD
(C'est un VRAI théorème et porte le nom de théorème de la boule chevelue, il me semble en anglais "hairy bold theorem")


Dernière édition par le Ven 8 Avr 2005 - 16:41, édité 1 fois

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Message par Julien le Ven 8 Avr 2005 - 16:31

otto a écrit:Conclusion:
Il n'existe aucune façon de se coiffer, sans avoir d'épis.
CQFD
(C'est un VRAI théorème et porte le nom de théorème de la boule chevelue, il me semble en anglais "hairy bold theorem")

MDR ! C'est quand-même extraordinaire ce théorème ! Very Happy
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Message par otto le Ven 8 Avr 2005 - 16:36

En réalité le téorème est celui ci:
Tout champ vectoriel sur la sphère s'annule au moins une fois.
On en déduit cette application pratique Smile

Sinon j'ai dit une bétise, il me semble qu'il faut plus qu'un homéomorphisme pour que la caractéristique soit 2.
En fait, c'est simple, une variété différentielle de dimension 2 (une sphère ou n'importe quel forme lisse de dimension 2, ovoide, tore, etc) est du meme type qu'une sphere ou qu'un tore (ie:un beignet Wink)
La caracteristique de la sphère est 2, celle du tore est 0.

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Message par matthias le Dim 10 Avr 2005 - 4:27

otto a écrit:En réalité le téorème est celui ci:
Tout champ vectoriel sur la sphère s'annule au moins une fois.
On en déduit cette application pratique Smile

Sinon j'ai dit une bétise, il me semble qu'il faut plus qu'un homéomorphisme pour que la caractéristique soit 2.
En fait, c'est simple, une variété différentielle de dimension 2 (une sphère ou n'importe quel forme lisse de dimension 2, ovoide, tore, etc) est du meme type qu'une sphere ou qu'un tore (ie:un beignet Wink)
La caracteristique de la sphère est 2, celle du tore est 0.

Ton message étant ambigu sur la fin, je me permet de préciser, ce théorème est valable pour une sphère, mais pas pour un tore (intuitivement on peut peigner un tore, ou un "beignet" Shocked de manière à ce que chaque poil suive un cercle dont l'axe est l'axe du tore)
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Message par otto le Dim 10 Avr 2005 - 20:16

Ok, désolé d'avoir été amibgu.
En fait j'avais donné la caractéristique d'euler pour que ce soit plus clair.

J'ai notamment un bon exercice à ce sujet:

Soit X le champ de vecteur défini sur le tore par X(x,y)=(x^2-y^2,xy), montrer que la courbure gaussienne du tore est nulle en au moins un point.
Smile

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