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Comparaison série / intégrale

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série - Comparaison série / intégrale Empty Comparaison série / intégrale

Message par Julien le Sam 16 Sep 2006 - 14:25

Soit Un=f(n).

Peut-on dire :

La série série - Comparaison série / intégrale 942506 f(n) converge série - Comparaison série / intégrale 1915 f est intégrable sur [0; série - Comparaison série / intégrale Infini3[ ?

Faut-il des hypothèses sur f ?
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Message par ephemere le Sam 16 Sep 2006 - 19:38

Il faut d'autres hypothèses sur la fonction f.

Par exemple, la fonction caractéristique de l'ensemble série - Comparaison série / intégrale N est intégrable sur l'inervalle [0, série - Comparaison série / intégrale 990137[ (au sens de Lebesgue) et pourtant la série correspondante diverge.
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Message par Julien le Dim 17 Sep 2006 - 10:03

Je ne connais pas cette fonction mais si je rajoute comme hypothèse que f est positive décroissante sur série - Comparaison série / intégrale R+, est-ce-que ça marche ?
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Message par Duche le Dim 17 Sep 2006 - 18:45

si tu fais l'hypothèse que ta fonction f est constante sur les intervalles [k,k+1[ ou k est entier, alors c'est effectivement équivalent.

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Message par Julien le Lun 18 Sep 2006 - 15:58

D'accord, c'est l'approximation des intégrales par les rectangles en fait...
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Message par Duche le Lun 18 Sep 2006 - 16:20

Non ce n'est pas une approximation, c'est la valeur exact... il s'agit là d'une somme sur un nombre dénombrable de valeurs... l'intégrale conventionnelle travaille sur un nombre non-dénombrable de valeurs...

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Message par ephemere le Lun 18 Sep 2006 - 17:53

le_duche a écrit:si tu fais l'hypothèse que ta fonction f est constante sur les intervalles [k,k+1[ ou k est entier, alors c'est effectivement équivalent.

Exact !

Julien a écrit:Je ne connais pas cette fonction mais si je rajoute comme hypothèse que f est positive décroissante sur série - Comparaison série / intégrale R+, est-ce-que ça marche ?

Si tu rajoutes en plus que la fonction est mesurable, alors oui, c'est équivalent. En effet, la fonction est alors une fonction mesurable de module majoré par la fonction intégrable donnée par le_duche, et est donc intégrable. Pour la réciproque, c'est rapide aussi si on remarque que la différence entre la somme des aires des rectagles sous la fonction donné par le_duche et l'intégrale de ta fonction est comprise entre 0 et f(0).
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Message par Julien le Mar 19 Sep 2006 - 15:29

D'accord, merci beaucoup à tous les deux pour ces explications !
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