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Les problèmes de Duche (octobre 2006)

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Les problèmes de Duche (octobre 2006) Empty Les problèmes de Duche (octobre 2006)

Message par Duche le Dim 17 Sep 2006 - 18:52

Même principe que pour les problèmes du mois de samir, vous m'envoyez un mail avec la solution correctement rédigée à l'adresse
legrandduche@gmail.com
et vous annoncez que la solution est postée.




Les problèmes de Duche (octobre 2006) Problmedeseptembrehw4




ps: comme on est deja bien avancé dans le mois de septembre, j'en ai choisi un pas "trop" difficile (mais difficile quand meme ^^)


Dernière édition par le Sam 14 Oct 2006 - 21:44, édité 1 fois

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Message par Duche le Dim 24 Sep 2006 - 20:35

Et bien personne ?

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Message par ephemere le Lun 25 Sep 2006 - 6:06

C'est jusque la fin du mois ! Wink Smile
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Message par ephemere le Lun 25 Sep 2006 - 11:28

Solution envoyée.
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Message par ephemere le Mar 3 Oct 2006 - 21:05

Tu as bien reçu ma solution ?
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Message par Duche le Mer 4 Oct 2006 - 14:43

voui voui , j'avais oublié...

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Message par Duche le Mer 4 Oct 2006 - 14:43

Solution d'Ephemere.

Si p est un nombre premier, il est soit égal à 2, soit impair.

Si p=2, alors 2^p+3^p=13 et n'est pas de la forme a^n avec a et n entiers et n>1.

Si p est impair, alors 2^p=-(-2)^p modulo 5, et donc 2^p=-3^p modulo 5, ce qui implique que 2^p+3^p est un multiple de 5.
Comme 5 est un nombre premier, pour que 2^p+3^p soit de la forme a^n avec a et n entiers et n>1, il est nécessaire que 2^p+3^p soit divible par 5^n. Montrons que c'est impossible si n>1 et si p est un nombre premier. Remarquons d'abord que si p= 5 alors 2^p+3^p=275=5²X11 n'est pas de la forme a^n avec a et n entiers et n>1. Pour finir, il nous suffit de prouver que si 25 divise 2^p+3^p et que p est un nombre premier, alors p=5. Or 2^p+3^p=0 modulo 25 si et seulement si p est congru à 5 ou à 15 modulo 20 (il suffit de dresser une table pour p variant de 0 à 19, car on sait que 2^20=3^20=1 modulo 25 par le petit théorème de Fermat). Donc, si 2^p+3^p=0 modulo 25, alors 5 divise p. Si p est en plus premier, alors nécessairement p=5. CQFD

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Message par Duche le Mer 11 Oct 2006 - 16:55

Voilà le problème d'octobre, qui arrive presque aussi tard que celui de septembre...

On place 100 nombres réels autours d'un cercle de telle manière que:
* leur somme vaut 100
* la somme de 6 nombres consécutifs est toujours inférieure ou égale à 6

Si l'un des nombres vaut 6, que vallent les autres ?

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Message par ephemere le Mer 11 Oct 2006 - 21:59

le_duche a écrit:On place 100 nombres réels autours d'un cercle de telle manière que:
* leur somme vaut 100
* la somme de 6 nombres consécutifs est toujours inférieure ou égale à 6

Si l'un des nombres vaut 6, que vallent les autres ?

Solution envoyée.
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Message par Duche le Jeu 12 Oct 2006 - 10:08

Solution reçue et correcte...

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Message par Duche le Mar 17 Oct 2006 - 11:31

Dis-moi ephemere, à voir les problèmes que tu poses et les problèmes que tu résouds, est-ce que "wépion" te dit quelque chose ???

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Message par ephemere le Mar 17 Oct 2006 - 12:09

Ce n'était pas encore là-bas à mon époque. Mais je sais ce que c'est, oui. Wink
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Message par Duche le Mer 18 Oct 2006 - 16:55

serais tu donc un ancien ? quelle année quel pays ??? Very Happy
Moi je suis de 2003, et je suis pas parti au Japon Crying or Very sad

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Message par ephemere le Mer 18 Oct 2006 - 18:27

Oui, un ancien. 1997, Argentine.
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Message par Duche le Jeu 19 Oct 2006 - 14:21

On se connait ? t'as déjà trainer au groupe Z ou à la FFJM ?

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Message par Duche le Jeu 19 Oct 2006 - 15:20

[edit: ok pas de prénom ^^]


Dernière édition par le Jeu 19 Oct 2006 - 15:51, édité 1 fois

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Message par ephemere le Jeu 19 Oct 2006 - 15:46

Non, cela m'étonnerait vraiment qu'on se connaisse.

Je suis allé dans le groupe Z une fois, mais c'était en 1997, lorsque je venais de rentrer en première candi à l'unif. Il y a des anciens de mon année qui y retournent de temps en temps ?

Pour la FFJM, je n'ai plus participé depuis des années. Je suis déjà allé à Paris, donc si je veux participer, cela devra être en HC. Si cela te dit, on peut se donner rendez-vous à Mouscron... à conditioon de ne pas être trop distrait au tour précédant... Laughing
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Message par Duche le Jeu 19 Oct 2006 - 15:50

Je suis déjà allé 3 fois à Paris, Mouscron ne devrait pas poser problème... Very Happy

Si on se connais, je ne sais pas, mais comme je traine vraiment souvent avec Cedric Troessaert, c'est bien possible !

Pour ce qui est des vieux de la vieille du groupe Z c'est bien pire que ca... Michel Baes nous a donné cours de "je-ne-sais-plus-quoi" je crois que c'étaient des problèmes en tout genre, j'ai déjà croisé Eric VanDenBusche... sinon je ne sais pas trop qui je connais d'autre...

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Message par Duche le Jeu 19 Oct 2006 - 15:52

Note: il me semble que HC c'est si tu es allé à Paris dans les 3 années précédentes, sans quoi tu repasses en GP...
Mais j'avoue que les deux derniers problèmes sont toujours interessants... et ce sont parfois eux qui font la différence !

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Message par ephemere le Jeu 19 Oct 2006 - 15:58

Et bien, tu connais les deux autres francophones qui étaient avec moi en Argentine et le fils de la personne qui s'occupe de la sélection. Very Happy

On le fait cette année en HC ? Cap ou pas cap ?
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Message par Duche le Jeu 19 Oct 2006 - 15:59

Allez HC alors ! Very Happy

oui et du coup je connais bien Gérald aussi !

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Message par ephemere le Jeu 19 Oct 2006 - 16:01

Very Happy
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Message par Duche le Sam 21 Oct 2006 - 19:55

___Post supprimé: trop visible sur google___


Dernière édition par Duche le Mer 6 Avr 2011 - 13:23, édité 1 fois

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Message par ephemere le Sam 21 Oct 2006 - 21:48

Un vrai champion ! Ca doit être le seul médaillé d'argent parmis les belges francophones ayant participé au IMO ces quinze dernières années. Very Happy

Il fait aussi le concours FFJM ?
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Message par Duche le Lun 23 Oct 2006 - 14:40

Non il n'aime pas la FFJM, c'est vrai que j'y vais plus pour le FUN que pour les problèmes...

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Message par ephemere le Lun 23 Oct 2006 - 17:00

C'est vrai que le concours de la FFJM à plusieurs inconvéniants :

- il y a un manque évident de rigueur dans la façon de rédiger les questions et cela amène souvent des réclamations judicieuses,
- seule la réponse finale compte. Donc rien ne prouve qu'une personne qui a répondu à tout correctement est nécessairement capable de prouver toutes ses réponses,
- le temps départage les ex-équo. Or, mieux vaut prendre son temps et tout prouver au brouillon que de mettre une réponse obtenue par intuition sans preuve,
- les questions sont trop faciles et c'est souvent la distraction qui départage les plus forts,
- Certaines questions n'ont pas de solutions élégantes et obligent à faire une bête vérification de tous les cas.

Mais bon, comme tu dis, c'est pour le fun, et surtout c'est une occasion de prendre un verre avec des anciens !
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Message par Duche le Mar 24 Oct 2006 - 6:56

Exactement ! Et là en retrouve vraiment un paquet !
On trouve toujours au rendez-vous (et sur le podium) des gens comme Philippe Niederkorn, Fraçois Glineur, ...

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Message par Duche le Lun 4 Mai 2009 - 16:05

UUUUUUUUUUP
Je suis en finale encore une fois !
Tu y seras ???

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