séries, suites, intégrales

j'ai un DM a rendre vendredi et je bloque sur certaines questions:

calculer In(x) = 0:integer:1 [(k=0 ) n (-1)^k * t^k] t^(x-1) dt

pour la calculer j'ai essayé de calculer séparément la somme en prenant 2n comme indice ( pour que le dernier terme soit positif) et j'ai séparé la somme en deux autres sommes: une pour les termes positifs et l autre pour les négatifs.
mais j'obtient un truc trop tordu au final....
pourriez vous me donner quelques pistes?


et une autre question pour la route:
a(n) = (n/e)^n * ( n)/(n!) et Un = ln (a(n+1) / a(n))

je dois prouver la convergence de Un grace a un développement limité
j'ai essayé de décomposer les termes grace a la propriété du ln : ln(ab)=lna +lnb mais ça ne donne rien car je n'arrive pas a les mettre sous la forme ln(1+truc) avec truc 0

voila!
merci d'avance!

a(n+1) / a(n)
= [((n+1)/e)^{n+1} * ( (n+1))/((n+1)!) ] / [ (n/e)^n * ( n)/(n!)]
= [(n+1)^n (:sqrt(n+1))] / [e (:sqrt n)n^n]
= [((1+1/n)^n) /e] * [(:sqrt(n+1))/(:sqrt(n))] ----> 1 * 1 = 1.

On voit que a(n+1) / a(n) tend vers 1. Comme le ln est une fonction continue, il peut traverser la limite précédente, et donc Un tend vers 0.

Passons au premier exercice.

L'intégrale peut traverser la somme si chacun des termes est intégrable sur [0,1]. C'est le cas si x>0. Si tu intégres termes à termes, tu vas alors tomber sur l'expression suivante :
Somme(k=0àn) (-1)^k/(k+x).

Je ne vois pas comment chasser le signe sommatoire de cette dernière expression. Peut-être que ce n'était pas une bonne idée d'intégrer avant de sommer. On avait la somme d'une suite géométrique de raison (-t) avant de faire passer l'intégrale sous le signe sommatoire. La somme est alors facile à calculer, mais le résultat n'a pas une tête sympatique pour être primitivé, et est donc dur à intégrer sur [0,1].

À suivre...

Merci bcp ephémère , je vais le regarder et je t'en reparlerai! pour le premier pb je pense qu il faut effectivement trouver un résultat de ce type.

pour le pb 2 avec la somme c'est bon , pas de pb merci!
et pour le premier avec la convergence... je galérai car à chaque fois je trouvais que Un tendait vers +infini .... et ceci à cause d'une erreur de recopiage... honte à moi....
mais ça m'a bien guidée!
merci!