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séries, suites, intégrales

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Séries - séries, suites, intégrales Empty séries, suites, intégrales

Message par sarah le Dim 22 Oct 2006 - 16:34

j'ai un DM a rendre vendredi et je bloque sur certaines questions:

calculer In(x) = 0:integer:1 [(k=0 )Séries - séries, suites, intégrales 942506 n (-1)^k * t^k] t^(x-1) dt

pour la calculer j'ai essayé de calculer séparément la somme Séries - séries, suites, intégrales 942506 en prenant 2n comme indice ( pour que le dernier terme soit positif) et j'ai séparé la somme en deux autres sommes: une pour les termes positifs et l autre pour les négatifs.
mais j'obtient un truc trop tordu au final....
pourriez vous me donner quelques pistes?


et une autre question pour la route:
a(n) = (n/e)^n * (Séries - séries, suites, intégrales 254525 n)/(n!) et Un = ln (a(n+1) / a(n))

je dois prouver la convergence de Un grace a un développement limité
j'ai essayé de décomposer les termes grace a la propriété du ln : ln(ab)=lna +lnb mais ça ne donne rien car je n'arrive pas a les mettre sous la forme ln(1+truc) avec truc Séries - séries, suites, intégrales 130998 0

voila!
merci d'avance!
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Message par ephemere le Dim 22 Oct 2006 - 18:25

a(n+1) / a(n)
= [((n+1)/e)^{n+1} * (Séries - séries, suites, intégrales 254525 (n+1))/((n+1)!) ] / [ (n/e)^n * (Séries - séries, suites, intégrales 254525 n)/(n!)]
= [(n+1)^n (:sqrt(n+1))] / [e (:sqrt n)n^n]
= [((1+1/n)^n) /e] * [(:sqrt(n+1))/(:sqrt(n))] ----> 1 * 1 = 1.

On voit que a(n+1) / a(n) tend vers 1. Comme le ln est une fonction continue, il peut traverser la limite précédente, et donc Un tend vers 0.
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Message par ephemere le Lun 23 Oct 2006 - 6:53

Passons au premier exercice.

L'intégrale peut traverser la somme si chacun des termes est intégrable sur [0,1]. C'est le cas si x>0. Si tu intégres termes à termes, tu vas alors tomber sur l'expression suivante :
Somme(k=0àn) (-1)^k/(k+x).

Je ne vois pas comment chasser le signe sommatoire de cette dernière expression. Peut-être que ce n'était pas une bonne idée d'intégrer avant de sommer. On avait la somme d'une suite géométrique de raison (-t) avant de faire passer l'intégrale sous le signe sommatoire. La somme est alors facile à calculer, mais le résultat n'a pas une tête sympatique pour être primitivé, et est donc dur à intégrer sur [0,1].

À suivre...
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Message par sarah le Lun 23 Oct 2006 - 9:37

Merci bcp ephémère , je vais le regarder et je t'en reparlerai! pour le premier pb je pense qu il faut effectivement trouver un résultat de ce type.
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Message par sarah le Jeu 26 Oct 2006 - 15:42

pour le pb 2 avec la somme c'est bon , pas de pb merci!
et pour le premier avec la convergence... je galérai car à chaque fois je trouvais que Un tendait vers +infini .... et ceci à cause d'une erreur de recopiage... honte à moi....
mais ça m'a bien guidée!
merci!
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