Intégration par parties [Rédaction]

Salut !


Pour faire une intégration par parties, il y a des conditions pour les deux fonctions en jeu. Je les appelle u et v comme très souvent dans le cas général.

Voila mon problème :
Dans mon cours, il y a écrit :

Soit u et v deux fonctions dérivables admettant des dérivées u' et v' continues...

.
Autre part, j'ai pu lire :

Soit u et v deux fonctions définies et deux fois dérivables...

J'imagine que ces deux phrases sont équivalentes, mais laquelle est la plus rigoureuse selon vous ?

dérivable implique continue mais l'inverse n'est pas vrai.
Les deux propositions ne sont pas équivalentes.
L'intégration par partie vient de (uv)' = u'v + uv'
donc il suffit que u' et v' soient continues (on peut même prendre des hypothèses plus faibles, mais en Terminale continue ça doit suffire) pour que u'v et uv' soient continues donc intégrables.

matthias a écrit:
donc il suffit que u' et v' soient continues

Alors, je dis juste ça et c'est bon ? Comment on dit dans le supérieur, juste pour savoir... ?

On dit que u et v sont C1 (dérivable de dérivée continue).
donc la même chose en fait.
mais on sait que éventuellement on peut le faire dans d'autres cas (et on justifie si on a à le faire).

Ah oui, c'est l'histoire des classes des fonctions... OK, merci matthias !

matthias a écrit:dérivable implique continue mais l'inverse n'est pas vrai.
Les deux propositions ne sont pas équivalentes.
L'intégration par partie vient de (uv)' = u'v + uv'
donc il suffit que u' et v' soient continues (on peut même prendre des hypothèses plus faibles, mais en Terminale continue ça doit suffire) pour que u'v et uv' soient continues donc intégrables.

je dirais plutôt "il faut que u et v admettent des primitives : si toute fonction continue admet une primitive, il est faux que toute fonction dérivée soit continue.

troll a écrit:

matthias a écrit:dérivable implique continue mais l'inverse n'est pas vrai.
Les deux propositions ne sont pas équivalentes.
L'intégration par partie vient de (uv)' = u'v + uv'
donc il suffit que u' et v' soient continues (on peut même prendre des hypothèses plus faibles, mais en Terminale continue ça doit suffire) pour que u'v et uv' soient continues donc intégrables.

je dirais plutôt "il faut que u et v admettent des primitives : si toute fonction continue admet une primitive, il est faux que toute fonction dérivée soit continue.

Hmmm... Qui a raison ?

qui a raison, bah, je vais dire moi
on intègre pas u et v, mais uv' et u'v.
Il faut donc que u'v et uv' soient intégrables, l'hypothèse la simple est donc que u' et v' soient continues.

Bon, d'accord... si troll ne contredit plus, j'adopterai cette rédaction ! lol

je ne contredis pas ; c'est la rédaction que j'emploierais aussi (sauf que je prends rarement la peine de dire que 1 ou x admettent des primitives...)
je faisais juste remarquer que cette hypothèse est un tout petit peu trop forte en théorie puisqu'il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue (il y a un exemle célèbre que j'ai plus en tête)

troll a écrit:je ne contredis pas ; c'est la rédaction que j'emploierais aussi (sauf que je prends rarement la peine de dire que 1 ou x admettent des primitives...)
je faisais juste remarquer que cette hypothèse est un tout petit peu trop forte en théorie puisqu'il existe des fonctions dérivables dont la dérivée n'est pas continue (il y a un exemle célèbre que j'ai plus en tête)

u et v sont dérivables (ça c'est obligé) donc continues donc intégrables.
u' et v' sont des dérivées donc, continues ou pas, elles sont intégrables.
Je ne suis pas sûr que ce soit suffisant pour dire uv' et u'v intégrables (je vais essayer de vérifier ça). A mon avis le problème est là.

Sinon oui il existe des fonctions dérivables de dérivée non continue.
Exemple classique:
f(0) = 0
f(x) = x²sin(1/x) pour x > 0

il faut que tu sache que la derivation est plus "forte" que la continuite et que la continuite sufit pour qu'une fonction soit integrable

danyahmed a écrit:il faut que tu sache que la derivation est plus "forte" que la continuite et que la continuite sufit pour qu'une fonction soit integrable

Mais... la continuité sert à intégrer et la dérivabilité à dériver, non ?

La dérivabilité est plus forte que la continuité dans le sens ou dérivable implique continue. De même continue implique intégrable.
La continuité et la dérivanilité sont donc des conditions suffisantes pour l'intégrabilité mais ce ne sont pas des conditions nécessaires.

D'accord... je comprends mieux. Merci !

Bonjour,
allez voir le site gecif.net : il y a plein d'exemples d'intégration par parties bien détaillés, commentés et expliqués.