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Problème d'octobre 2007

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Problème d'octobre 2007 Empty Problème d'octobre 2007

Message par Julien le Mar 2 Oct 2007 - 6:52

Prouver que la fraction Problème d'octobre 2007 De9a4bc2c1edf4c79f8929381bacee4c est irréductible quelque soit n entier naturel.


Dernière édition par le Dim 16 Déc 2007 - 9:31, édité 1 fois
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Problème d'octobre 2007 Empty Re: Problème d'octobre 2007

Message par Sangoku le Mar 2 Oct 2007 - 9:45

Reformulons l'affaire: montrer que 21n+4 et 14n+3 sont premiers entre eux pour tout naturel n, ce qui est immédiat:-).
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Problème d'octobre 2007 Empty Re: Problème d'octobre 2007

Message par Julien le Mar 2 Oct 2007 - 14:34

Sangoku a écrit:Reformulons l'affaire: montrer que 21n+4 et 14n+3 sont premiers entre eux pour tout naturel n, ce qui est immédiat:-).
En effet, ça revient à ça...
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Problème d'octobre 2007 Empty Re: Problème d'octobre 2007

Message par Duche le Mer 3 Oct 2007 - 11:08

easy game ton problème ^^

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Problème d'octobre 2007 Empty Re: Problème d'octobre 2007

Message par Julien le Mer 3 Oct 2007 - 11:20

le_duche a écrit:easy game ton problème ^^
C'est vrai... surtout si c'est un problème du mois.

Je vais en mettre un plus dur !
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Problème d'octobre 2007 Empty Re: Problème d'octobre 2007

Message par payne le Mer 3 Oct 2007 - 20:04

J'suis pas sûr d'avoir bien compris comment résolver ça...

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Message par Julien le Ven 5 Oct 2007 - 9:51

payne a écrit:J'suis pas sûr d'avoir bien compris comment résolver ça...
Indice : tu peux utiliser une propriété intéressante du pgcd...
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Message par Julien le Mar 9 Oct 2007 - 16:34

Julien a écrit:Je vais en mettre un plus dur !

Que vaut le produit abcd ?

Problème d'octobre 2007 55fb720aca02c0cb7aceae71086312d4
Problème d'octobre 2007 95f15388985bf9fba0d65f0103c3f8e5
Problème d'octobre 2007 602442afab9966d1ab27cfb9d08a502e
Problème d'octobre 2007 A304f438cd6951b4b8b457e25099a224
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Problème d'octobre 2007 Empty Re: Problème d'octobre 2007

Message par payne le Mar 9 Oct 2007 - 19:12

Je ne sais pas pourquoi mais j'ai l'impression que ça égale 0 ou bien il n'y a aucune réponse...
Mais je comprends très bien que s'il y a une réponse, il y a de forte chance qu'elle soit décimale Razz

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Message par Julien le Mar 9 Oct 2007 - 19:44

payne a écrit:Je ne sais pas pourquoi mais j'ai l'impression que ça égale 0 ou bien il n'y a aucune réponse...
Mais je comprends très bien que s'il y a une réponse, il y a de forte chance qu'elle soit décimale Razz
Tout est faux ! A moins que tu considères qu'un entier est un décimal... ce qui n'est pas faux.
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Message par ephemere le Sam 15 Déc 2007 - 9:26

Julien a écrit:
Julien a écrit:Je vais en mettre un plus dur !

Que vaut le produit abcd ?

Problème d'octobre 2007 55fb720aca02c0cb7aceae71086312d4
Problème d'octobre 2007 95f15388985bf9fba0d65f0103c3f8e5
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Le produit abcd vaut 11. Wink
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Message par Julien le Sam 15 Déc 2007 - 9:36

J'ai un problème : je ne vois plus les nombres a ; b ; c et d... Rolling Eyes
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Message par ephemere le Dim 16 Déc 2007 - 6:56

Julien a écrit:J'ai un problème : je ne vois plus les nombres a ; b ; c et d... Rolling Eyes
Moi non plus... mais je pense que je m'en souviens à une permutation près (ce qui ne change rien au produit qui est commutatif) :

a=Problème d'octobre 2007 254525(4-Problème d'octobre 2007 254525(5-a))
b=Problème d'octobre 2007 254525(4+Problème d'octobre 2007 254525(5-b))
c=Problème d'octobre 2007 254525(4-Problème d'octobre 2007 254525(5+c))
d=Problème d'octobre 2007 254525(4+Problème d'octobre 2007 254525(5+d))

Il suffit de remarquer que :

1) a, b, c, d sont tous définis de manière unique,
2) a, b, -c, -d sont deux à deux différents,
3) a, b, -c, -d vérifient tous l'équation x^4-8x^2+x+11=0.

On peut alors conclure que a, b, -c, -d sont les 4 racines du polynôme x^4-8x^2+x+11 et que leur produit vaut donc 11. Et bien sûr : 11=ab(-c)(-d)=abcd.
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Problème d'octobre 2007 Empty Re: Problème d'octobre 2007

Message par Julien le Dim 16 Déc 2007 - 9:31

Oui c'est bon je viens de retrouver l'exercice et ... c'est la bonne solution !!!

Encore bravo ephemere ! Very Happy
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