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Le raid mathématique de Duche

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Le raid mathématique de Duche Empty Le raid mathématique de Duche

Message par Duche le Jeu 13 Nov 2008 - 17:40

Les règles sont extrêmement simples.
Je poste un problème, à vous d'en trouver le solution. A vous de voir si vous voulez comptabiliser les points de ceux qui trouvent, mais ce n'est pas obligatoire. Chaque fois qu'un problème est résolu, j'en poste un nouveau.
Note: Une solution ne se compose pas exclusivement de la réponse, mais doit être accompagnée d'une démonstration complète.

Problème 01:
Trouver la valeur minimum de x²+y²+z²/2
Sachant que x+y+z = 10.

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Message par Julien le Jeu 13 Nov 2008 - 18:24

Code:
  1 #include <stdio.h>
  2
  3 int main(int argc, char * argv[])
  4 {
  5  int x, y, z;
  6  float r, max=100;
  7  for(x=0;x<=10;x++)
  8  {
  9    for(y=x;y<=10;y++)
 10    {
 11      z=10-x-y;
 12      if(z>=0)
 13      {
 14        r=x*x+y*y+z*z/2;
 15        if(r<=max)
 16        {
 17          max=r;
 18          printf("(%i;%i;%i) -> %f\n", x, y, z, max);
 19        }
 20      }
 21    }
 22  }
 23 }

Ce qui donne 25,5 si x, y et z sont des entiers.
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Message par Noova le Jeu 13 Nov 2008 - 18:28

Outch ^^ T as fais sous DEV ++ ?
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Message par Julien le Jeu 13 Nov 2008 - 18:33

Pour faire ce genre de programme, gcc (sous Linux) suffit largement !
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Message par Noova le Jeu 13 Nov 2008 - 18:41

A oui les ingénieurs aiment bien Linux ( bande de hackers :p )
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Message par Second-Trèfle le Jeu 13 Nov 2008 - 20:22

C'est quel niveau tes problèmes??

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Message par Duche le Ven 14 Nov 2008 - 0:55

x y et z sont des réels gros malin !

Ce problème ci doit pouvoir ce faire si tu sais ce qu'est un carré...
Ce ne sont pas des exercices conventionnels, il faut faire tourner le cerveau Smile

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Message par Second-Trèfle le Ven 14 Nov 2008 - 19:07

Bon ben j'vais peut-être essayer, mais ca a l'air d'être une équation du 2nd degré (au moins) à première vue...
C'est juste z² qui est divisé par 2, c'est ça??

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Message par payne le Ven 14 Nov 2008 - 19:19

Moi je dit que c'est de la triche que d'utiliser des ordinateurs pour faire les calculs à notre place Sad

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BOO!!
Scared heh?
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Message par Julien le Ven 14 Nov 2008 - 20:09

Duche a écrit:x y et z sont des réels gros malin !
Ce n'était pas précisé que je sache !!! Bon, c'est vrai que j'ai pris la voie de la facilité en supposant qu'ils étaient naturels, mais ton énoncé était incomplet donc j'en ai pris la liberté !


Dernière édition par Julien le Sam 15 Nov 2008 - 9:11, édité 1 fois
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Message par Duche le Ven 14 Nov 2008 - 23:30

S'il n'y a pas de précision, tu devrais savoir que x y z représentent généralement des réels, a,b,c,... des entiers et m,n,... des naturels.
Nulle convention la dedans, juste des 'bonne manières'.

Mais donc le problème concerne bien les réels.

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Message par Julien le Sam 15 Nov 2008 - 9:06

Bof, moi quand je vois un tel énoncé, soit ça me fait penser à de l'arithmétique (ex : dernier théorème de Fermat toujours énoncé avec les ENTIERS x, y et z), soit à une fonction à plusieurs variables. Donc ton "généralement" est assez bancal, surtout quand x+y+z=10. Wink
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Message par Duche le Sam 15 Nov 2008 - 12:37

Fermat est toujours énoncé a^n + b^n = c^n Very Happy

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Message par Hébus le Sam 15 Nov 2008 - 15:31

Moi je trouve 25 si x y et z sont positifs avec x=2.5, y=2,5 et z=5.

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Message par Duche le Sam 15 Nov 2008 - 22:47

C'est une bonne réponse, mais ça ne suffit pas, il te faut prouver qu'il n'est pas possible de faire moins de 25 !

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Message par Hébus le Lun 17 Nov 2008 - 21:16

Je sais que je ne l'ai pas démontré mais je ne vois pas comment prouver qu'il n'y a pas moins de 25.

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Message par Duche le Lun 17 Nov 2008 - 22:32

C'est là tout le but de l'exercice Very Happy

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Message par Hébus le Mar 18 Nov 2008 - 23:27

Ca me fait penser à une intersection d'un cône (ou quelque chose du genre) avec un plan. C'est dans cette voie qu'il faut chercher au moins ?

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Message par Duche le Mer 19 Nov 2008 - 1:00

Non c'est bien plus simple que ça il me semble. Cependant l'idée du cône peut être tout à fait efficace si c'est utilisé correctement.

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Message par Duche le Sam 22 Nov 2008 - 0:06

Personne ?
Pensez à justifier le minimum de la somme de deux carré quand on connait la somme des nombres.

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Message par Hébus le Dim 23 Nov 2008 - 19:58

Euh... x²+y²=(x+y)²-2xy mais ça doit mener à quoi ça ?

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Message par Duche le Dim 23 Nov 2008 - 22:41

Et bien, si x+y est une constante, comment minimiser x^2 + y^2 ?

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Message par Hébus le Lun 24 Nov 2008 - 17:39

Duche a écrit:Et bien, si x+y est une constante, comment minimiser x^2 + y^2 ?
En maximisant le produit xy.

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Message par Duche le Lun 24 Nov 2008 - 18:53

Et quand est-ce que xy est maximum si l'on sait que x+y est fixé ?

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Message par Hébus le Sam 29 Nov 2008 - 19:47

Imaginons que x+y=a.
xy=x(a-x)=ax-x² donc le maximum est en a/2. Donc le maximum de xy si x+y=a est a²/4 ?

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Message par Duche le Dim 30 Nov 2008 - 1:21

Ce qu'il faut remarquer c'est que le maximum se produit lorsque x=y Smile

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Message par bloups le Lun 13 Avr 2009 - 15:21

bonjour a tous,

je vous rappelle le problème:
Trouver le minimum de x²+y²+z²/2, en sachant que x+y+z=10

Voila ma proposition:
On applique l'inégalité de Chébychev
Donc x²+y²+z²/2 Le raid mathématique de Duche 9878 (x+y+z)(1+1+1/2)=25
Donc x²+y²+z²/2 Le raid mathématique de Duche 9878 25
Avec égalité si x=2.5 y=2.5 z=5

quelqu'un pour dire si cette démonstration est exact?
merci
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Message par Duche le Lun 13 Avr 2009 - 15:47

Pour rappel, Tchebychev s'énonce comme suit:
Le raid mathématique de Duche Image7

Donc si on l'applique ici, on devrait obtenir ceci:
( x²+y²+z²/2 ) >= 1/3 ( x²+y²+z² ) ( 1+1+1/2 ) = 5/6 ( x²+y²+z² )

Et encore... puisqu'il faudrait s'assurer d'avoir des suites croissantes ou décroissantes...

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Message par Duche le Lun 13 Avr 2009 - 16:36

SPOILER SPOILER SPOILER SPOILER SPOILER SPOILER !

Voici la solution:

On se demande donc quand est-ce que x²+y²+z²/2 est minimum.

Affirmation 1: Le produit de 2 nombre dont on connait la somme est maximum lorsque ces nombres sont égaux.
En effet, posons a+b = n, avec n la somme fixée. Alors ab = a(n-a) = -a²+na. Il est facile de vérifier que le maximum de cette fonction est bien en a = n/2. Ceci démontre l'affirmation 1.

Affirmation 2: Quel que soit z, x²+y² sera minimum lorsque x=y.
En effet, x+y est fixé et vaut 10-z. Minimiser x²+y² revient à minimiser (x+y)²-2xy. Puisque x+y est fixé (selon z) il s'agit donc de maximiser xy. Or, ce produit est maximum lorsque x=y, en vertu de l'affirmation 1.

Ainsi, il suffit de trouver le minimum de 2x²+z²/2 lorsque 2x+z = 10.
Ou encore, trouver le minimum de 4x²+z². En posant 2x = a et z = b, il suffit de trouver le minimum de a²+b² lorsque a+b = 10.
Mais de la même façon que pour l'affirmation 2, cela se produit lorsque a = b, c'est à dire lorsque 2x = z.

Le minimum est donc atteint lorsque x = y et 2x = z, c'est-à-dire lorsque x = 2.5 , y = 2.5 , z = 5.

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