Problème n°6

Trouver tous les entiers positifs x et y tels que 7^x-3*2^y=1.

Comment on trouve ça avec 2 inconnues et une seule équation?! O_O
Ce pourrait-il que ce soit à cela que servent les fameuses matrices si mystérieuses?

Absolument pas payné, nous avons là une équation diophantienne. Le problème réside dans le fait qu'il faut trouver des ENTIERS comme solution.

Est ce que ce problème revient à rechercher les valeurs de k tels que x = ln(3k+1)*1/ln(7) et y = ln(7k+2)*1/ln(2) soient des entiers naturels?
Ou je m'embrouille un peu de trop?

oups: dans la précipitation j'ai oublié d'ajouté "1" à x.
Je réécris mes "réponses":

x = 1 + ln(3k+1)*1/ln(7)

y = ln(7k+2)*1/ln(2)

Euh... comment tu as obtenu ceci ?

mdr!! Ok c'est pas ca ...

Alors j'essaye de m'expliquer:
pour L1: 7^x -3*2^y =1 on a une valeur évidente pour les inconnus :
x=1 et y=1
Soit L2 : 7 - 2*3=1
L1- L2: 7(7^(x-1) -1) -3(2^y -2) =0
<=> (7^(x-1) -1) =3k et (2^y -2)=7k avec € Z (ou N?)

d'où <=> x = 1 + ln(3k+1)*1/ln(7) et y = ln(7k+2)*1/ln(2)

(bon je ne me suis pas foulée pour la rédaction mais ce soir je n'avais pas envie de détailler)
Est ce que tu peux me dire si il y a une erreur et sur quoi je dois fonder ma recherche?

Ca me fait penser que je l'ai pas encore essayé celui ci.

https://sd-1.archive-host.com/membres/up/37997576342390466/prob6.pdf

gloups, il y a une faute dans la démo (la trouverez vous ? ^^)
Je regarderai demain s'il faut modifier beaucoup de chose et si c'est corrigeable ou si ça flingue ma démo.

Est ce que tu pourrais me dire comment je pourrais continuer ma résolution? Je ne vois absolument pas comoment rechercher y et x tels qu'ils soient naturels avec ce que j'ai trouvé... :S

A mon avis tu ne trouveras pas avec cette méthode...
Je ne sais moi même pas comment trouver car mon erreur tue bel et bien ma démo qui est fausse. Je vais ptet encore un peu chercher ce soir, mais j'ai beaucoup de boulot.

Oui je ne pensais pas non plus trouver par cette méthode à vrai dire, mais par un élan d'espoir je me suis dit que peut être toi tu aurais pu continuer ma méthode ^^ Mais pourrait-on utiliser le logarithme décimal (que j'ai pas encore vu en cours) pour transformer tout ça?
Julien, est ce qu'une terminale peut résoudre le problème sans avoir besoin de beaucoup de connaissances?

J'ai trouvé une solution, et cette fois elle me semble correcte

Il faut savoir faire joujou avec les modulo, et c'est tout.

Et voila ma solution toute fraiche

https://sd-1.archive-host.com/membres/up/37997576342390466/prob6_149.pdf

J'imagine que la réponse de Duche est correcte... je n'ai pas le temps de regarder ! (je suis en train de négocier un stage en Angleterre...)

Pour C-line, oui, avec les connaissances de terminale tu peux y arriver, mais il faut s'acharner un petit peu !

Un autre indice : Sophie Germain.

Je vais essayer avec son théorème un de ces jours...
Mais avec Sophie Germain, il faut aussi utiliser les congruences ou c'est juste de la déduction logique par transformation de l'équation?

C'est l'identité de Sophie Germain plus précisément qu'il faut bidouiller...

Je ne connaissais pas ce résultat, mais il n'est pas très intéressant en soi... presque trivial avec les modulo en testant les cas...