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Problème n°6

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Message par Julien le Mar 18 Nov 2008 - 21:04

Trouver tous les entiers positifs x et y tels que 7x-3*2y=1.
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Message par payne le Mar 18 Nov 2008 - 22:36

Comment on trouve ça avec 2 inconnues et une seule équation?! O_O
Ce pourrait-il que ce soit à cela que servent les fameuses matrices si mystérieuses?

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BOO!!
Scared heh?
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Message par Duche le Mer 19 Nov 2008 - 1:21

Absolument pas payné, nous avons là une équation diophantienne. Le problème réside dans le fait qu'il faut trouver des ENTIERS comme solution.

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Message par C-line le Dim 30 Nov 2008 - 22:32

Est ce que ce problème revient à rechercher les valeurs de k tels que x = ln(3k+1)*1/ln(7) et y = ln(7k+2)*1/ln(2) soient des entiers naturels?
Ou je m'embrouille un peu de trop?
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Message par C-line le Dim 30 Nov 2008 - 22:37

oups: dans la précipitation j'ai oublié d'ajouté "1" à x.
Je réécris mes "réponses":

x = 1 + ln(3k+1)*1/ln(7)

y = ln(7k+2)*1/ln(2)
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Message par Julien le Dim 30 Nov 2008 - 23:09

Euh... comment tu as obtenu ceci ?
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Message par C-line le Dim 30 Nov 2008 - 23:25

mdr!! Ok c'est pas ca Mr. Green ...

Alors j'essaye de m'expliquer:
pour L1: 7^x -3*2^y =1 on a une valeur évidente pour les inconnus :
x=1 et y=1
Soit L2 : 7 - 2*3=1
L1- L2: 7(7^(x-1) -1) -3(2^y -2) =0
<=> (7^(x-1) -1) =3k et (2^y -2)=7k avec € Z (ou N?)

d'où <=> x = 1 + ln(3k+1)*1/ln(7) et y = ln(7k+2)*1/ln(2)

(bon je ne me suis pas foulée pour la rédaction mais ce soir je n'avais pas envie de détailler)
Est ce que tu peux me dire si il y a une erreur et sur quoi je dois fonder ma recherche?
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Message par Duche le Dim 30 Nov 2008 - 23:50

Ca me fait penser que je l'ai pas encore essayé celui ci.

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Message par Duche le Lun 1 Déc 2008 - 2:17

https://sd-1.archive-host.com/membres/up/37997576342390466/prob6.pdf

gloups, il y a une faute dans la démo (la trouverez vous ? ^^)
Je regarderai demain s'il faut modifier beaucoup de chose et si c'est corrigeable ou si ça flingue ma démo.

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Message par C-line le Lun 1 Déc 2008 - 15:02

Est ce que tu pourrais me dire comment je pourrais continuer ma résolution? Je ne vois absolument pas comoment rechercher y et x tels qu'ils soient naturels avec ce que j'ai trouvé... :S
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Message par Duche le Lun 1 Déc 2008 - 22:43

A mon avis tu ne trouveras pas avec cette méthode... Sad
Je ne sais moi même pas comment trouver car mon erreur tue bel et bien ma démo qui est fausse. Je vais ptet encore un peu chercher ce soir, mais j'ai beaucoup de boulot.

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Message par C-line le Mer 3 Déc 2008 - 15:25

Oui je ne pensais pas non plus trouver par cette méthode à vrai dire, mais par un élan d'espoir je me suis dit que peut être toi tu aurais pu continuer ma méthode ^^ Mais pourrait-on utiliser le logarithme décimal (que j'ai pas encore vu en cours) pour transformer tout ça?
Julien, est ce qu'une terminale peut résoudre le problème sans avoir besoin de beaucoup de connaissances?
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Message par Duche le Mer 3 Déc 2008 - 16:40

J'ai trouvé une solution, et cette fois elle me semble correcte Smile

Il faut savoir faire joujou avec les modulo, et c'est tout.

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Message par Duche le Mer 3 Déc 2008 - 17:27

Et voila ma solution toute fraiche Smile

https://sd-1.archive-host.com/membres/up/37997576342390466/prob6_149.pdf

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Message par Julien le Mer 3 Déc 2008 - 21:59

J'imagine que la réponse de Duche est correcte... je n'ai pas le temps de regarder ! (je suis en train de négocier un stage en Angleterre...)

Pour C-line, oui, avec les connaissances de terminale tu peux y arriver, mais il faut s'acharner un petit peu !

Un autre indice : Sophie Germain.
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Message par C-line le Mer 10 Déc 2008 - 21:23

Je vais essayer avec son théorème un de ces jours...
Mais avec Sophie Germain, il faut aussi utiliser les congruences ou c'est juste de la déduction logique par transformation de l'équation?
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Message par Julien le Mer 10 Déc 2008 - 21:35

C'est l'identité de Sophie Germain plus précisément qu'il faut bidouiller...
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Message par Duche le Sam 13 Déc 2008 - 0:04

Je ne connaissais pas ce résultat, mais il n'est pas très intéressant en soi... presque trivial avec les modulo en testant les cas...

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