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Message par bloups le Dim 1 Aoû 2010 - 11:10

bonjour,

quelqu'un pourrait il m'aider à résoudre ce système

Trouver x,y,z dans Z^3 tel que x+y-z=12 et x²+y²-z²=12

je n'arrive pas du tout à le résoudre

merci pour votre aide
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Message par bloups le Lun 2 Aoû 2010 - 17:09

personne n'a d'idées? système Icon_biggrin
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Message par bloups le Ven 6 Aoû 2010 - 14:30

en posant a=x+y et b=xy

j'arrive à z=-12+a et b=-78+12a

après je ne vois pas comment terminer système Icon_sad
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Message par LeSingeMalicieux le Sam 7 Aoû 2010 - 7:29

Pour ma part, je défini x et z en fonction de y :

x + y - z = 12
x² + y² - z² = 12

z = x + y - 12

x² + y² - (x + y -12)² = 12
x² + y² - x² - xy + 12x - xy - y² + 12y + 12x + 12y - 144 = 12
-2xy + 24x + 24y -144 = 12
24x - 2xy = 156 - 24y
x(24 - 2y) = 156 - 24y
x = (156 - 24y) / (24 - 2y)
x = 6(13 - 2y) / (12 - y)

z = 6(13 - 2y)/(12 - y) + y - 12


Ensuite, avec Excel, j'ai calculé x et z pour des valeurs de y allant de -20 à 20, et je trouve plusieurs couples (x ; y ; z) qui sont corrects :
(9 ; -10 ; -13)
(6 ; 1 ; -5)
(1 ; 6 ; -5)
(-10 ; 9 ; -13)
(-21 ; 10 ; -23)
(-54 ; 11 ; -55)
(78 ; 13 ; 79)
(45 ; 14 ; 47)
(34 ; 15 ; 37)
(23 ; 18 ; 29)

J'imagine qu'il y a une infinité de solutions...
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Message par bloups le Sam 7 Aoû 2010 - 9:50

exact c'est une bonne conjecture mais moi j'aimerai avoir une preuve qui prouve ou qui contredit ta phrase "il y a une infinité de solution". Mais là je ne vois pas comment faire. système Icon_redface
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Message par LeSingeMalicieux le Sam 7 Aoû 2010 - 9:53

Moi non plus... Pas facile de travailler dans Z.

Mais promis, j'y réfléchi.
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Message par bloups le Sam 7 Aoû 2010 - 10:23

on a z=-12+a
b=-78+12a

on considérant ces 2 équations comme des équations de droites elles sont sécantes en un point donc on doit avoir une solution. Mais c'est faux car tu en as trouvé plusieurs système Suspect
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Message par LeSingeMalicieux le Sam 7 Aoû 2010 - 10:35

D'une part, je n'ai pas réussi à retrouver b=-78+12a. Mais je ne remets pas en cause ce résultat.

D'autre part, tu utilises deux équations de droites, mais :
- pour l'une d'elles l'ordonnée est z
- pour l'autre l'ordonnée est b

Je ne suis pas sûr que tu puisses exploiter un résultat avec des ordonnées qui n'ont aucun lien entre elles (car b n'est pas défini par z, mais juste par x et y).
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Message par bloups le Sam 7 Aoû 2010 - 10:38

ah oui exact b=xy

dans ce cas je n'ai rien dit
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Message par LeSingeMalicieux le Sam 7 Aoû 2010 - 10:44

Comment es-tu arrivé à b=-78+12a ?
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Message par LeSingeMalicieux le Sam 7 Aoû 2010 - 11:06

x + y - z = 12
x² + y² - z² = 12

Si je pose :
a = 2x
b = 2y
c = 2z

Alors : (a/2) + (b/2) - (c/2) = 12

Et : 4(x² + y² - z²) = 4.12
4.x² + 4.y² - 4.z² = 48
(2x)² + (2y)² - (2z)² = 48
a² + b² - c² = 48

Donc pour des a, b et c pairs, j'aurai toujours des x, y et z appartenant à Z.


Je crois que c'est une bonne piste pour démontrer qu'il y a une infinité de solutions.
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Message par bloups le Sam 7 Aoû 2010 - 17:06

pour arriver à b=-78+12a

j'ai posé b=xy et a=x+y
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Message par evariste le Dim 8 Aoû 2010 - 7:40

A mon avis, le nombre de solutions est limité. J’en dénombre 16 :
(-54,11,-55)
(-21,10,23)
(-10,9,-13)
(1,6,25)
(6,1,25)
(9,-10,-13)
(10,-21,-23)
(11,-54,-55)
(13,78,79)
(14,45,47)
(15,34,37)
(18,23,29)
(23,18,29)
(34,15,37)
(45,14,47)
(78,13,79)

Ce sont celles données par LSM, complétées par celles obtenus par permutation des valeurs de x et y.

On reprend l’équation données par LSM : x = 6(13 - 2y) / (12 - y)
Si y tend vers moins l’infini, x tend vers 12-
Si y tend vers plus l’infini, x tend vers 12+

Comme x et y sont permutables, il suffit de tester toutes les valeurs entières de x qui donnent y entier de 11 à 0, puis celles qui correspondent à x (ou y) supérieur à 12 qui donnent un résultat également supérieur à 12.
Plus simplement, il suffit de tester les valeurs entières de x de -54 (qui donne y=11) à +78 (qui donne y=13)

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Message par irina le Dim 8 Aoû 2010 - 8:24

Salut, les équations ne sont pas des équation de droites, la première est celle d'un plan : http://homeomath.imingo.net/equplan.htm et la deuxième est celle d'une sphère : http://homeomath.imingo.net/sphere4.htm Donc les solutions devraient se trouver sur un cercle.
Il y a une infinités de solutions parce que c'est un système de deux équations à 3 inconues. On ne peut donc trouver que 2 inconues en fonction de la troisième.
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Message par bloups le Dim 8 Aoû 2010 - 8:55

je suis d'accord avec irina pour les équations mais ensuite irina dit "Il y a une infinités de solutions parce que c'est un système de deux
équations à 3 inconues. On ne peut donc trouver que 2 inconues en
fonction de la troisième.". Or là je ne suis pas très sur, j'ai vu un exo ou il y avait 2 équations et 3 inconnus et ont avait un nombre fini de solutions


Pour evariste, LSM a fait varier x, y et z entre -20 et 20


Edit: je n'ai rien dit pour la phrase d'irina, l'exo que j'avais vu était 2 équations pour 4 inconnues
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Message par evariste le Dim 8 Aoû 2010 - 9:02

irina a écrit:
Il y a une infinités de solutions parce que c'est un système de deux équations à 3 inconues. On ne peut donc trouver que 2 inconues en fonction de la troisième.

C''est vrai dans R^3 mais pas dans z^3 !

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Message par bloups le Dim 8 Aoû 2010 - 9:07

Comment as tu fait irina pour dire que la deuxième équation était celle d'une sphère?
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Message par irina le Dim 8 Aoû 2010 - 9:23

Oups, ah oui j'avai pas fait gaf à l'espace de définition !

je ne suis pas sure, il y a un moins qui me dérange avant z².
C'est parce qu'elle a une forme qui ressemble a une équation de sphère, regarde sur le lien que j'ai mis après sphère. Là on a a, b = à 0 et c = 0.
Mais si ce n'est pas une sphère ça doit quand-même être un machun arondi à cause des carrés. En fin bon si on est dans z^3 ca n'a peut-être pas beaucoup d'intérès de savoir à quoi ça resemble dans r^3.
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Message par bloups le Dim 8 Aoû 2010 - 9:30

Bon moi je propose de brûler cet exo j'en ai trop marre système Icon_surprised
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Message par LeSingeMalicieux le Dim 8 Aoû 2010 - 11:13

Moi je suis séduit par la démonstration d'evariste Smile
Je crois bien qu'il a un 20/20 !
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Message par irina le Dim 8 Aoû 2010 - 13:40

Bon alors pour le fun j'ai trouver x²+y²-z²=0

système Kegel

Et x²+y²-z²=1

système Spindel

Sur http://homepage.univie.ac.at/herwig.hauser/bildergalerie/gallery.html
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Message par bloups le Dim 8 Aoû 2010 - 18:31

jolie dessins sur ce lien irina système Icon_biggrin


pour en revenir au dessins je pense qu'evariste à raison
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Message par irina le Lun 9 Aoû 2010 - 12:54

Effectivement, il y a un nombre fini de solutions parce qu'on est dans Z et que donc on ne prend que les entiers.
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