Problème n°10
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Problème n°10
Quel est le reste de la division de ( k!)²/5 pour k variant de 0 à 2007 ?
Julien- Administrateur
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Re: Problème n°10
tu es sur que c'est de k variant de 0 à 2007 et pas k variant de 1 à 2007?
k!= k*(k-1)! or si je fais k=0 j'obtient (-1)!, ce qui est impossible
k!= k*(k-1)! or si je fais k=0 j'obtient (-1)!, ce qui est impossible
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
Oui j'en suis sûr !
Par convention, 0!=1.
Par convention, 0!=1.
Julien- Administrateur
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Re: Problème n°10
oui j'ai pas fait gaffe
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
On est censé ne résoudre les problèmes qu'avec les mathématiques ? Ou bien on a le droit à Excel et ses copains ?
(je demande cela pour ne pas tricher)
(je demande cela pour ne pas tricher)
LeSingeMalicieux- Membre
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Re: Problème n°10
justement j'ai pensé faire avec excel mais je crois que l'on a droit qu'au maths.
Sinon Julien n'aurait pas posé un tel exo
Sinon Julien n'aurait pas posé un tel exo
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
Oui, juste avec les maths !!
Julien- Administrateur
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Re: Problème n°10
juste une question que je me posais en regardant la somme de factorielle;
existe-il une formule donnant la valeur exacte d'une telle somme?
Si oui avez vous une preuve?
existe-il une formule donnant la valeur exacte d'une telle somme?
Si oui avez vous une preuve?
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
Pour la somme des inverses des factorielles, ça donne la constante e (2,718...) mais pour la somme des factorielles, il n'y a pas grand chose d'intéressant.
Julien- Administrateur
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Re: Problème n°10
Salut salut!
Bon, c’est peu être un peu rapide, mal expliqué et faux mais je n’ai pas trop le temps : je suis au boulot ^^’
R= [S (k !)² ]/5= 4*[S (2+3+4*3+5*4*3+… + (2007!)/2)²]/5
On pose X= 2+3+4*3 dans R= 4*[S (X+… + (2007!)/2)²]/5
les seuls restes possibles de 4*n/5 (n entier naturel) sont 0 1 2 3 4
Si
n= 5x reste =0
n=5x+1= reste =1
…
n=5x+4 reste = 4.
Or X=17
Donc R =4*(17+ 15*y)²/5 =4* s²/5
Avec S²= 289+ 15*y*2*17 + (15*y)²= 5*57 +4 + 5*(3*[y*2*17+15*y²])
Donc le reste = 4
Excusez moi, je n'ai vraiment pas pris le temps de vérifier ni par calcul, ni sur excel... A vous de me corriger :p
Bon, c’est peu être un peu rapide, mal expliqué et faux mais je n’ai pas trop le temps : je suis au boulot ^^’
R= [S (k !)² ]/5= 4*[S (2+3+4*3+5*4*3+… + (2007!)/2)²]/5
On pose X= 2+3+4*3 dans R= 4*[S (X+… + (2007!)/2)²]/5
les seuls restes possibles de 4*n/5 (n entier naturel) sont 0 1 2 3 4
Si
n= 5x reste =0
n=5x+1= reste =1
…
n=5x+4 reste = 4.
Or X=17
Donc R =4*(17+ 15*y)²/5 =4* s²/5
Avec S²= 289+ 15*y*2*17 + (15*y)²= 5*57 +4 + 5*(3*[y*2*17+15*y²])
Donc le reste = 4
Excusez moi, je n'ai vraiment pas pris le temps de vérifier ni par calcul, ni sur excel... A vous de me corriger :p
C-line- Membre
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Re: Problème n°10
Non ce n'est pas 4 ! (Je n'ai pas regardé ton raisonnement encore).
Julien- Administrateur
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Re: Problème n°10
c'est pas de l'arithmétique quand même?
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
Si si !
Julien- Administrateur
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Re: Problème n°10
dans ce cas je suis hors course.
J'aime pas l'arithmétique, je sais juste calculer un PGCD et faire quelque petits truc
C'est censé faire référence à quelle partie d'arithmétique?
J'aime pas l'arithmétique, je sais juste calculer un PGCD et faire quelque petits truc
C'est censé faire référence à quelle partie d'arithmétique?
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
C'est vraiment de l'arithmétique de base !
Julien- Administrateur
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Re: Problème n°10
d'accord je cherche
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
un indice?
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
Rhaa ça y est j'ai trouvé!!!
Et en plus c'est tout bête
D'une part, je prends les factorielles de 0 à 4 :
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
Leur somme est de 1+1+2+6+24 = 34
D'autre part, les factorielles de 5 à 2007 seront toujours des multiples de 5 (car elles sont le produit de 5 par un nombre entier).
Ainsi, la somme de multiples de 5 (et donc la somme des factorielles de 5 à 2007) est un multiple de 5.
J'y ajoute la somme des factorielles de 0 à 4, soit 34, qui est 30+4, soit un multiple de 5 auquel on ajoute 4.
Ainsi le total X (avec X = k! pour k variant de 0 à 2007) est un multiple de 5 auquel on ajoute 4 (le reste de la division de ce nombre par 5 est donc égal à 4).
On a donc :
X = n + 4 , avec n multiple de 5
On calcule X² :
X² = (n+4)²
= n² + 8n + 16
= n² + 8n + 15 + 1
n étant un multiple de 5, on déduit que n² + 8n + 15 est un multiple de 5.
On y ajoute 1.
Le reste de la division de ce nombre X² par 5 est donc 1
On peut d'ailleurs en déduire qu'à partir de k variant de 0 à 4, le reste de ( k!)²/5 sera toujours égal à 1.
Et en plus c'est tout bête
D'une part, je prends les factorielles de 0 à 4 :
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
Leur somme est de 1+1+2+6+24 = 34
D'autre part, les factorielles de 5 à 2007 seront toujours des multiples de 5 (car elles sont le produit de 5 par un nombre entier).
Ainsi, la somme de multiples de 5 (et donc la somme des factorielles de 5 à 2007) est un multiple de 5.
J'y ajoute la somme des factorielles de 0 à 4, soit 34, qui est 30+4, soit un multiple de 5 auquel on ajoute 4.
Ainsi le total X (avec X = k! pour k variant de 0 à 2007) est un multiple de 5 auquel on ajoute 4 (le reste de la division de ce nombre par 5 est donc égal à 4).
On a donc :
X = n + 4 , avec n multiple de 5
On calcule X² :
X² = (n+4)²
= n² + 8n + 16
= n² + 8n + 15 + 1
n étant un multiple de 5, on déduit que n² + 8n + 15 est un multiple de 5.
On y ajoute 1.
Le reste de la division de ce nombre X² par 5 est donc 1
On peut d'ailleurs en déduire qu'à partir de k variant de 0 à 4, le reste de ( k!)²/5 sera toujours égal à 1.
LeSingeMalicieux- Membre
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Re: Problème n°10
Je n'aurais pas mieux rédigé !
Bravo LeSingeMalicieux.
Bravo LeSingeMalicieux.
Julien- Administrateur
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Re: Problème n°10
bravo LeSingeMalicieux
bloups- Membre
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Re: Problème n°10
Lors de mes recherches sur les suites de factorielles, j'ai découvert une chose assez intéressante, que je voudrais partager avec vous, si vous aimez les mathématiques.
En partant de k!, j'ai pu définir les suites de sommes de factorielles à partir de k :
k! = k! * 1
k! + (k+1)! = k! * (k+2)
k! + (k+1)! + (k+2)! = k! * ( k² + 4k + 4)
k! + (k+1)! + (k+2)! + (k+3)! = k! * (k^3 + 7k² + 15k + 10)
k! + (k+1)! + (k+2)! + (k+3)! +(k+4)! = k! * (k^4 + 11k^3 + 42k² + 65k + 34)
J'aurais pu continuer, mais il m'a semblé intéressant de voir que la somme des factorielles en partant de k était toujours le produit de k! et d'un polynôme d'inconnue k, et de degré correspondant au nombre de termes au delà de k, dont on additionne la factorielle.
Si vous voulez les détails des calculs, n'hésitez pas à demander
J'ai ensuite détaillé le rapport entre ces facteurs, suivant la valeur de k, grâce aux facteurs de k-1.
La suite demain, je vous laisse vous y pencher
En partant de k!, j'ai pu définir les suites de sommes de factorielles à partir de k :
k! = k! * 1
k! + (k+1)! = k! * (k+2)
k! + (k+1)! + (k+2)! = k! * ( k² + 4k + 4)
k! + (k+1)! + (k+2)! + (k+3)! = k! * (k^3 + 7k² + 15k + 10)
k! + (k+1)! + (k+2)! + (k+3)! +(k+4)! = k! * (k^4 + 11k^3 + 42k² + 65k + 34)
J'aurais pu continuer, mais il m'a semblé intéressant de voir que la somme des factorielles en partant de k était toujours le produit de k! et d'un polynôme d'inconnue k, et de degré correspondant au nombre de termes au delà de k, dont on additionne la factorielle.
Si vous voulez les détails des calculs, n'hésitez pas à demander
J'ai ensuite détaillé le rapport entre ces facteurs, suivant la valeur de k, grâce aux facteurs de k-1.
La suite demain, je vous laisse vous y pencher
LeSingeMalicieux- Membre
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Re: Problème n°10
On est demain !
Julien- Administrateur
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