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Problème n°10

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Message par Julien le Mer 25 Aoû 2010 - 18:56

Quel est le reste de la division de (Problème n°10 942506 k!)²/5 pour k variant de 0 à 2007 ?
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Message par bloups le Mer 25 Aoû 2010 - 19:53

tu es sur que c'est de k variant de 0 à 2007 et pas k variant de 1 à 2007?


k!= k*(k-1)! or si je fais k=0 j'obtient (-1)!, ce qui est impossible
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Message par Julien le Jeu 26 Aoû 2010 - 6:45

Oui j'en suis sûr !

Par convention, 0!=1. Wink
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Message par bloups le Jeu 26 Aoû 2010 - 9:47

oui j'ai pas fait gaffe
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Message par LeSingeMalicieux le Jeu 26 Aoû 2010 - 10:00

On est censé ne résoudre les problèmes qu'avec les mathématiques ? Ou bien on a le droit à Excel et ses copains ?
(je demande cela pour ne pas tricher)
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Message par bloups le Jeu 26 Aoû 2010 - 10:18

justement j'ai pensé faire avec excel Very Happy mais je crois que l'on a droit qu'au maths.
Sinon Julien n'aurait pas posé un tel exo
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Message par Julien le Jeu 26 Aoû 2010 - 11:07

Oui, juste avec les maths !!
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Message par bloups le Jeu 26 Aoû 2010 - 19:44

juste une question que je me posais en regardant la somme de factorielle;
existe-il une formule donnant la valeur exacte d'une telle somme?
Si oui avez vous une preuve?
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Message par Julien le Jeu 26 Aoû 2010 - 20:19

Pour la somme des inverses des factorielles, ça donne la constante e (2,718...) mais pour la somme des factorielles, il n'y a pas grand chose d'intéressant.
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Message par C-line le Ven 27 Aoû 2010 - 8:38

Salut salut!
Bon, c’est peu être un peu rapide, mal expliqué et faux mais je n’ai pas trop le temps : je suis au boulot ^^’

R= [S (k !)² ]/5= 4*[S (2+3+4*3+5*4*3+… + (2007!)/2)²]/5
On pose X= 2+3+4*3 dans R= 4*[S (X+… + (2007!)/2)²]/5

les seuls restes possibles de 4*n/5 (n entier naturel) sont 0 1 2 3 4
Si
n= 5x reste =0
n=5x+1= reste =1

n=5x+4 reste = 4.

Or X=17
Donc R =4*(17+ 15*y)²/5 =4* s²/5
Avec S²= 289+ 15*y*2*17 + (15*y)²= 5*57 +4 + 5*(3*[y*2*17+15*y²])

Donc le reste = 4

Excusez moi, je n'ai vraiment pas pris le temps de vérifier ni par calcul, ni sur excel... A vous de me corriger :p
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Message par Julien le Ven 27 Aoû 2010 - 10:36

Non ce n'est pas 4 ! (Je n'ai pas regardé ton raisonnement encore).
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Message par bloups le Ven 27 Aoû 2010 - 11:57

c'est pas de l'arithmétique quand même?
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Message par Julien le Ven 27 Aoû 2010 - 12:02

Si si !
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Message par bloups le Ven 27 Aoû 2010 - 16:52

dans ce cas je suis hors course.
J'aime pas l'arithmétique, je sais juste calculer un PGCD et faire quelque petits truc

C'est censé faire référence à quelle partie d'arithmétique?
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Message par Julien le Ven 27 Aoû 2010 - 17:31

C'est vraiment de l'arithmétique de base !
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Message par bloups le Ven 27 Aoû 2010 - 17:59

d'accord je cherche
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Message par bloups le Ven 27 Aoû 2010 - 18:33

un indice? Rolling Eyes
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Message par LeSingeMalicieux le Ven 27 Aoû 2010 - 18:34

Rhaa ça y est j'ai trouvé!!!
Et en plus c'est tout bête Shocked

D'une part, je prends les factorielles de 0 à 4 :
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
Leur somme est de 1+1+2+6+24 = 34

D'autre part, les factorielles de 5 à 2007 seront toujours des multiples de 5 (car elles sont le produit de 5 par un nombre entier).
Ainsi, la somme de multiples de 5 (et donc la somme des factorielles de 5 à 2007) est un multiple de 5.

J'y ajoute la somme des factorielles de 0 à 4, soit 34, qui est 30+4, soit un multiple de 5 auquel on ajoute 4.
Ainsi le total X (avec X = Problème n°10 942506 k! pour k variant de 0 à 2007) est un multiple de 5 auquel on ajoute 4 (le reste de la division de ce nombre par 5 est donc égal à 4).

On a donc :
X = n + 4 , avec n multiple de 5

On calcule X² :
X² = (n+4)²
= n² + 8n + 16
= n² + 8n + 15 + 1

n étant un multiple de 5, on déduit que n² + 8n + 15 est un multiple de 5.
On y ajoute 1.
Le reste de la division de ce nombre X² par 5 est donc 1 Very Happy

On peut d'ailleurs en déduire qu'à partir de k variant de 0 à 4, le reste de (Problème n°10 942506 k!)²/5 sera toujours égal à 1.
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Message par Julien le Ven 27 Aoû 2010 - 19:03

Je n'aurais pas mieux rédigé !

Bravo LeSingeMalicieux. Wink
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Message par bloups le Ven 27 Aoû 2010 - 19:21

bravo LeSingeMalicieux
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Message par LeSingeMalicieux le Mar 31 Aoû 2010 - 19:55

Lors de mes recherches sur les suites de factorielles, j'ai découvert une chose assez intéressante, que je voudrais partager avec vous, si vous aimez les mathématiques.

En partant de k!, j'ai pu définir les suites de sommes de factorielles à partir de k :
k! = k! * 1
k! + (k+1)! = k! * (k+2)
k! + (k+1)! + (k+2)! = k! * ( k² + 4k + 4)
k! + (k+1)! + (k+2)! + (k+3)! = k! * (k^3 + 7k² + 15k + 10)
k! + (k+1)! + (k+2)! + (k+3)! +(k+4)! = k! * (k^4 + 11k^3 + 42k² + 65k + 34)

J'aurais pu continuer, mais il m'a semblé intéressant de voir que la somme des factorielles en partant de k était toujours le produit de k! et d'un polynôme d'inconnue k, et de degré correspondant au nombre de termes au delà de k, dont on additionne la factorielle.

Si vous voulez les détails des calculs, n'hésitez pas à demander Smile

J'ai ensuite détaillé le rapport entre ces facteurs, suivant la valeur de k, grâce aux facteurs de k-1.
La suite demain, je vous laisse vous y pencher Wink
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Message par Julien le Mer 1 Sep 2010 - 18:12

On est demain !
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