Intégration

Bonjor,
J'ai bien débuté le cours concernant l'intégration, j'ai également fait quelques exercices, mais là je bloque sur celui-ci. Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance.

Soient f et g deux fonctions de [a,b] dans IR. On suppose f continue, g continue par morceaux et positive.
Montrer qu'il existe au moins un réel c dans [a,b] tel que:

Je n'arrive pas à voir l'image... mais de loin, ça ressemble au théorème des valeurs intermédiaires...

Oui, j'y pensais également, et même à Rolle d'ailleurs, mais je ne vois quand même pas comment arriver à l'égalité finale ...


Je reposte l'image sous forme de lien:



https://2img.net/r/ihimizer/img516/6715/edc36bcc437dd9e4ef3d37b13a00ff.gif

Je n'ai pas encore fait le chapitre sur les intégrales, donc je pense que je n'ai pas encore les outils pour résoudre le problème, mais pourquoi ça ne marche pas le TAF (ou Rolle) ?

remarque que f(c)§g(x)dx = §f(c)g(x)dx
Puis tu essaye de prouver que
§f(m)g(x)dx <= §f(c)g(x)dx <= §f(M)g(x)dx
où m est le minimum de f sur [a,b] et M est le max de f sur [a,b]
De là il y a moyen de déduire la proposition, mais je ne sais plus comment...

Je me souviens que je l'avais prouvé de cette manière, mais je n'ai plus la démo sous la main... (je regarde ca ce soir et je poste une vraie réponse demain)

J'ai regardé dans mes notes d'il y a deux ans et j'ai retrouvé qqch de semblable... Mais ce n'est pas ton énoncé...

Intitulé:"Deuxième théorème de la moyenne"
Soient f et g deux fonctions bornées intégrables au sens de Riemann sur un intervale [a,b], où g(x)>=0 et g(x) est décroissante. Alors il existe un nombre c appartenant à [a,b] tel que l'intégrale de a à b de f(x)g(x)dx est égale à g(a) multipliée par l'intégrale de a à c de f(x)dx.


J'avoue que je viens de m'en rendre compte. Je vérifirai ce soir si j'ai ce que tu cherche...