Concours d'énigmes

par **Julien** Sam 4 Mar 2006 - 12:53

Voici un concours exclusivement réservé aux énigmes.

Je poste une énigme et dès que quelqu'un trouve la bonne réponse, il gagne 50 points et j'en poste une autre.

Classement des membres à ce concours :
1° avec 5 énigmes résolues :
ephemere

2° avec 3 énigmes résolues :
Benzène

par **Julien** Sam 4 Mar 2006 - 12:55

Voici la première énigme :

Sauriez-vous trouver cinq nombres entiers consécutifs qui soient tous positifs et tels que la somme des carrés des deux plus grands soit égale à la somme des carrés des trois autres ?

par **ephemere** Dim 5 Mar 2006 - 9:16

Oui ! Les 5 nombres sont 10,11,12,13,14. C'est la seule solution.

par **Julien** Dim 5 Mar 2006 - 11:03

ephemere a écrit:Oui ! Les 5 nombres sont 10,11,12,13,14. C'est la seule solution.

Bravo ephemere ! Tu remportes les 50 points !
Tu as trouvé en tatonnant ou tu as fait une vraie démarche ?

par **Julien** Dim 5 Mar 2006 - 11:21

Enigme suivante : Division

On pose une division. Si l'on augmente le dividende de 65 et le diviseur de 5, on constate que le quotient et le reste ne changent pas. Quel est ce quotient ?

par Benzène Dim 5 Mar 2006 - 17:04

Je dirai 13.

par **ephemere** Mar 14 Mar 2006 - 11:22

Julien a écrit:Tu as trouvé en tatonnant ou tu as fait une vraie démarche ?

Une vraie démarche : (x-1)²+x²+(x+1)²=(x+2)²+(x+3)² , et caetera.

par **ephemere** Mar 14 Mar 2006 - 11:30

Oui 13. Et c'est la seule solution aussi.

par **Julien** Dim 26 Mar 2006 - 11:19

Bonne réponse de Benzène.

Un chien savant savait compter selon un système de numération en base 4. Il traduisait zéro par O, un par U, deux par H et 3 par A. Combien cela
signifiait-il alors quand il faisait "OUAHOUAH" ?

par bruno Dim 26 Mar 2006 - 13:03

je trouve 12

par **Julien** Dim 26 Mar 2006 - 13:55

bruno a écrit:je trouve 12

Non, ce n'est pas ça.

Essayez de me donner une réponse justifiée pour que je puisse dire ce qui ne convient pas.

par Noangel Dim 26 Mar 2006 - 16:36

Julien a écrit:Bonne réponse de Benzène.

Un chien savant savait compter selon un système de numération en base 4. Il traduisait zéro par O, un par U, deux par H et 3 par A. Combien cela
signifiait-il alors quand il faisait "OUAHOUAH" ?

O=0
U=1
A=3
H=2
O=0
U=1
A=3
H=2

Ce qui fait 12 pour moi aussi...
C'est pas ca??

par **ephemere** Lun 27 Mar 2006 - 6:43

7710. Mais c'est bizarre de commencer par un O qui représente un 0.

par Noangel Lun 27 Mar 2006 - 19:19

Pourquoi 7710??

par Benzène Mar 28 Mar 2006 - 10:02

Je trouve aussi 7710

OUAHOUAH=01320132 en base quatre

Or,
01320132)base 4 = 0x4^7+1x4^6+3x4^5+2x4^4+0x4^3+1x4^2+3x4^1+2x4^0
=4096+3072+512+16+12+2=7710

Ephemere a raison

par Noangel Mer 29 Mar 2006 - 13:28

Oki merci de l'explication Very Happy

par **Julien** Ven 31 Mar 2006 - 20:00

Bon, je donne 50 points a ephemere qui a trouvé la réponse et à Benzène qui l'a rédigée...

par Benzène Ven 31 Mar 2006 - 20:01

Non non je veux pas les points le mérite revient à Ephemere, je répondais juste à Noangel qui ne comprenait pas.

par **Julien** Ven 31 Mar 2006 - 20:03

Benzène a écrit:Non non je veux pas les points le mérite revient à Ephemere, je répondais juste à Noangel qui ne comprenait pas.

Oui mais il me faut une réponse rédigée...

par Benzène Ven 31 Mar 2006 - 20:05

Bon...mais donne plus de points à Ephemere.

Alors quelle est l'énigme suivante ?

par **Julien** Ven 31 Mar 2006 - 20:09

Non non, je laisse comme ça.

Désormais, il me faut obligatoirement une réponse rédigée pour gagner les points...

Le produit de 4 nombres entiers consécutifs est 3024. Quels sont ces nombres ?

par Benzène Ven 31 Mar 2006 - 20:18

Soit a, b, c, d quatre nombres consécutifs, on a donc
axbxcxd=3024
Or b=a+1 ; c=a+2 ; d=a+3
D'où
ax(a+1)x(a+2)x(a+3)=3024
a^4+6a^3+11a^2+6a=3024
Par dichotomie, pour a=10 => axbxcxd=17160 donc a<10
Pour a=5 => axbxcxd=1680 donc 5<a<10
J'ai ensuite essayé avec 6 :
a=6 => axbxcxd=3024

Les quatre nombres entiers sont donc a=6 ; b=7 ; c=8 ; d=9

par **Julien** Ven 31 Mar 2006 - 20:19

Et 50 points de plus pour Benzène !

Plus dur... : Montrer que le nombre (7^1968^1978-3^68^78 )/(1978-1968) est entier.

par Benzène Ven 31 Mar 2006 - 20:21

Ce sont des puissances de puissances ?

par **Julien** Sam 1 Avr 2006 - 7:41

Benzène a écrit:Ce sont des puissances de puissances ?

Oui c'est bien ça !

par Benzène Sam 1 Avr 2006 - 8:17

Ok, et le smiley il est là pour faire joli ou il représente quelque chose ?

par **Julien** Sam 1 Avr 2006 - 12:19

Benzène a écrit:Ok, et le smiley il est là pour faire joli ou il représente quelque chose ?

Mince, j'avais pas vu. C'est que "8 )" sans l'espace est un raccourci pour ce smiley : Cool

... lol

par **ephemere** Sam 1 Avr 2006 - 20:58

Julien a écrit:Et 50 points de plus pour Benzène !

Plus dur... : Montrer que le nombre (7^1968^1978-3^68^78 )/(1978-1968) est entier.

Le dénominateur vaut 10. Montrons que le numérateur est divisible par 10. Le numérateur est une différence de deux terme et chacun des deux termes est congru à 1 modulo 10. En effet, chacun des deux termes est un nombre premier avec dix exposant en un nombre qui est un multiple de 4. Or 4 est le nombre de nombre premier avec 10 qui sont inférieur ou égal à 10.

par **Julien** Dim 2 Avr 2006 - 9:53

Bravo ephemere !!! Je ne pensais pas que quelqu'un allait la trouver aussi vite que ça cette énigme !

Par combien de 0 se termine le nombre 100! ? (lire 100 factorielle)

par **ephemere** Dim 2 Avr 2006 - 10:20

Le nombre de 0 finals est égale au nombre de facteurs 10 qui divisent le nombre. Cela revient à regarder le nombre de facteurs 2 et le nombre de facteurs 5 et de prendre le plus petit des deux. Comme les facteur 2 apparaissent plus vite que les facteur 5 dans des expressions de factorielle, on se contente de regarder le nombre de facteur 5. Le nombre 100! =1 X 2 X 3 X ... X 100 possède 20 facteurs divisibles par 5. Mais attention, 4 d'entre eux sont divisible par 25 ! Aucun n'est divisible par 125. Don, le nombre de 0 de 100 ! est 20 + 4 = 24.

par **Julien** Dim 2 Avr 2006 - 10:25

Encore une bonne réponse d'ephemere !

Le thé est servi entre 1 heure et 2 heures, lorsque les deux aiguilles de la montre forment un angle dont la bissectrice passe au milieu du 12. Quelle heure est-il alors précisément ?

par Benzène Dim 2 Avr 2006 - 10:57

Alors :

Soit alpha/2 l'angle entre la petite aiguille et 12 et l'angle entre la grande aiguille et 12.

Pour la petite aiguille :
Elle parcourt 30° pour 60min => en une minute elle parcourt 0,5°/min
D'où
alpha/2=30+0,5t avec 30° entre 12 et 1 et t le nombre de minutes.

Pour la grande aiguille :
Elle parcours 360° en 60min => en une minute elle parcourt 6°/min
D'où
alpha/2=360-6t

On égalise les deux et on trouve t=50,8 minutes d'où l'heure du thé : 13h50min8secondes.

par **Julien** Dim 2 Avr 2006 - 11:07

Ce n'est pas le bon nombre de secondes... Confused

par Benzène Dim 2 Avr 2006 - 11:13

Ca doit être les arrondis alors. J'en suis vraiment loin ?

par **Julien** Dim 2 Avr 2006 - 11:50

Benzène a écrit:Ca doit être les arrondis alors. J'en suis vraiment loin ?

Juste quelques secondes... lol mais plus de 10 secondes...

par Benzène Dim 2 Avr 2006 - 11:58

Oui j'ai compris mon erreur, j'ai 50,8minutes
1 minutes=60secondes
0,8minutes=48secondes

Donc il est 13h50min48sec

par **Julien** Dim 2 Avr 2006 - 12:34

C'est ça ! Bien joué !

Deux mécaniciens doivent construire une voiture. S'il travaillait seul, le premier mettrait 8 jours et le second 13. Combien de temps leur faudra-t-il en travaillant ensemble ?

par **ephemere** Dim 2 Avr 2006 - 13:22

Julien a écrit:C'est ça ! Bien joué !

Deux mécaniciens doivent construire une voiture. S'il travaillait seul, le premier mettrait 8 jours et le second 13. Combien de temps leur faudra-t-il en travaillant ensemble ?

En 8 X 13 = 104 jours, le premier construirait 13 voitures et le second 8. Donc ensemble, ils construiraient 13 + 8 = 21 voitures en 104 jours. Donc, il leur faudrait 104/21 de jours pour construire une voiture ensemble.

104/21 = 4 jours 22 heures 51 minutes et 26 secondes (en arrondissant à la seconde la plus proche).

par **Julien** Dim 2 Avr 2006 - 13:31

Bonne réponse !

50 points de plus pour ephemere !

par **Julien** Mer 26 Avr 2006 - 6:48

Le carré d'un nombre entier peut-il se terminer par trois chiffres identiques différents de 0 ?

par **Julien** Dim 30 Avr 2006 - 20:28

Déjà, par quel chiffre peut se terminer le carré d'un entier ?

par **heliof** Mar 2 Mai 2006 - 12:38

Julien a écrit:Le carré d'un nombre entier peut-il se terminer par trois chiffres identiques différents de 0 ?

Pour calculer on fait racine carrée de 999 puis de 888 puis de 777 etc... et la seule possibilité est 0 car racine carrée de 000 est égale à 0.

Donc la réponse est non...

par **heliof** Mar 2 Mai 2006 - 12:39

pardon je me suis tromper... j'avais pas vu "se terminer" dans l'énoncer...

par **payne** Mar 20 Juin 2006 - 0:15

J'ai une baignoire... au départ (à 6 heure), je mets un poissons. Après ce premier poisson, je double mon nombre de poissons à toutes les minutes...
Si ma baignoire est remplie de poissons à 7h00 pile, à quelle heure était-elle remplie à moitié?