rectangles, fonctions, snde.

Bonjour, je suis bloquée sur cet exercice concernant les fonctions niveau snde :

Soit un rectangle ABCD dont le périmètre mesure 24 cm. On s’intéresse à l’aire de ce rectangle.
1)Donner 3 exemples différents de rectangles ayant un périmètre de 24 cm.
2)On appelle x la longueur AB. A quel intervalle appartient x ?
3)Soit f définie sur [0 ;12] par f(x)=-(x-6) au carré +36, quelles sont les dimensions du rectangle de plus grande aire, et quelle est son aire ? Que peut-on remarquer ?
4)Résoudre par le calcul f(x)=20 et f(x)>ou égal à 25.

Pour la question 1, j’ai trouvé ces trois rectangles :
Soit ABCD tel que AB=7cm et AD=5cm.
Soit ABCD tel que AB=8cm et AD=4cm.
Soit ABCD tel que AB=10cm et AD=2cm.
Est-ce bien ce qu’on demande ? Faut-il laisser les lettres ABCD ?

Pour la question 2 ; j’ai trouvé l’intervalle : [0 ;12] mais je ne sais pas comment le prouver par une phrase, pouvez-vous m’aider ?

Pour la question 3, j’ai trouvé les dimensions suivantes : AB=6cm et AD=6cm, je l’ai prouvé grâce à un graphique. Par contre, on peut remarquer que c’est un carré, est-ce bien ça la remarque ?

Pour la question 4, je n’arrive pas à résoudre f(x)> ou égal à 25. Ca donne :
-(x-6) au carré +36-25> ou égal à 0 mais après je suis bloquée ! Pouvez-vous m’aider ?

Je vous remercie de bien vouloir me répondre.

Question 2 : on a 24 = 2(L+l) soit 12 = L+l soit L = 12-l.
l étant la largeur du rectancle, l<L donc tu as 0<l<12 soit 0<L<12 donc L appartient à ]0;12[.

La 3 est-elle bonne et comment faites pour pour f(x)> ou égal à 25?

Pour la question 3 : là encore, il te faut le prouver (je n'ai pas vérifié le résultat) : il faut chercher les variations de la fonction et ses extremums éventuels...

Pour la question 4 :
f(x) >= 25 <=> -(x-6)²+36 >= 25
<=> -(x-6)²+36-25 >= 0
<=> -(x²-12x+36)+36-25 >= 0
<=> -x²+12x-25 >= 0

Là, tu étudies l'équation : -x²+12x-25 = 0 et tu en déduis les solutions.

pmpt a écrit:La 3 est-elle bonne et comment faites pour pour f(x)> ou égal à 25?

Tu dis que tu as résolu la 3 de manière graphique. Vu qu'on te donne une fonction, je pense que c'est plutôt cela qu'il faut utiliser.
Si tu poses AB = X
Commences par montrer que l'aire A(x) = f(x)
Ensuite tu montres facilement que f(x) admet pour maximum 36 et qu'il n'est atteint que pour x=6.
La conclusion étant bien évidemment que ça correspond à un carré.

Pour la 4, tu utilises ce que t'as dit Julien et tu penses très fort à tes identités remarquables

Pour la 4, c'est bien là le pb, j'ai fait plusieurs calculs et j'arrive toujours à
-x au carré + 12x - 25=0 mais je ne sais pas comment faire à partir de là.

Pour la 3, je sais que f est croissante sur [0;6] et décroissante sur [6;12].

pmpt a écrit:Pour la 4, c'est bien là le pb, j'ai fait plusieurs calculs et j'arrive toujours à
-x au carré + 12x - 25=0 mais je ne sais pas comment faire à partir de là.

identité très remarquable ...

pmpt a écrit:Pour la 3, je sais que f est croissante sur [0;6] et décroissante sur [6;12].

non, pas besoin d'étudier les variations.
Juste utiliser qu'un carré est positif ou nul, et qu'il n'est nul que si la valeur mise au carré est nulle.

Ben, pour -x au carré -25 +12x = -(x+5) (x-5) + 12x= (-x-5) * (x-5) +12x
Mais il faut qu'on obtiennes un produit de facteurs pour faire un tableau de signe, alors, je ne pense pas que c'est ça!

Ah, je crois avoir trouvé:

2x(x-5)au carré =0, est-ce ça?

pmpt a écrit:Ben, pour -x au carré -25 +12x = -(x+5) (x-5) + 12x= (-x-5) * (x-5) +12x
Mais il faut qu'on obtiennes un produit de facteurs pour faire un tableau de signe, alors, je ne pense pas que c'est ça!

Désolé, c'est de ma faute !!!
Je n'ai pas les yeux en face des trous, ce n'est pas une identité remarquable.
En fait il ne faut pas développer.
Tu cherches -(x-6)² + 36 >= 25
ce qui donne (x-6)² <= 11
C'est déjà plus simple non ?

Ca revient à :
x au carré -10 x -2 x +25 <=0
(x-5) au carré -2x <=0

Est-ce ça?

Mais le plus simple dans tout ça, c'est de résoudre une équation du second degré avec le discriminant !

J'ai jamais fait ça! Comment vous faites?

Bon, ben tant pis... c'est bizarre quand-même, je croyais qu'on voyait ça en seconde !

Tu n'as qu'à faire avec la méthode de matthias :
Résoudre : (x-6)² <= 11

Ca donne:
(x-6) au carré -11<=0
On développe:
x au carré -12x + 25 <=0
(x+5) (x-5) -12x<=0

Mais, là je crois que je suis sur la mauvaise piste, alors pouvez-vous m'éclairer?

Fais plutôt :

(x-6) <= sqrt(11) ou (x-6) <= - sqrt(11)
soit x <= sqrt(11) + 6 ou x <= - sqrt(11) + 6
et ensuite, il suffit de faire les calculs...

Ca veut dire quoi sqrt?
Je ne comprends pas trop votre méthode!

A, j'ai compris, c'est racine carrée, vous pensez que c'est bon cette méthode?
Dois-je faire un tableau de signe(je suppose que non)?

pmpt a écrit:
Dois-je faire un tableau de signe(je suppose que non)?

Non, ce n'est pas la peine... Rappelle toi que x est un entier naturel, au passage.

Julien a écrit:Fais plutôt :

(x-6) <= sqrt(11) ou (x-6) <= - sqrt(11)
soit x <= sqrt(11) + 6 ou x <= - sqrt(11) + 6
et ensuite, il suffit de faire les calculs...

petite étourderie
c'est (x-6) <= sqrt(11) et (x-6) >= -sqrt(11)
pour info sqrt = square root (donc bien racine carrée)

en fait, sqrt[(x-6)²] = |x-6|
et tu dois savoir que pour x et y positifs:
x <= y <=> sqrt(x) <= sqrt(y)
donc (x-6)² <= 11 <=> |x-6| <= sqrt(11) <=> -sqrt(11) <= x-6 <= sqrt(11)
<=> 6 - sqrt(11) <= x <= 6 + sqrt(11)

Pour Julien, c'est un défaut courant chez les personnes ayant étudié le discriminant de vouloir l'utiliser tout le temps. Quand un binôme est déjà sous forme canonique, c'est inutile (le discriminant vient de la forme canonique).

Julien a écrit:Rappelle toi que x est un entier naturel, au passage.

Euh, c'est dans l'énoncé ça ?

matthias a écrit:petite étourderie
c'est (x-6) <= sqrt(11) et (x-6) >= -sqrt(11)

Je dirais que c'est une grosse étourderie, même !

matthias a écrit:
Euh, c'est dans l'énoncé ça ?

Euh... non, en fait. Je voulais juste dire que x est une longueur donc c'est forcément positif.

Donc la réponse est [-sqrt11+6; sqrt11 +6]

Graphiquement, j'ai trouvé environ l'intervalle: [2,7;9,3]! Donc, c'est bien ça! Sur ma feuille, comment rédiger les 2 possibilités de réponses?

Merci beaucoup, j'ai enfin presque terminé mon exo, je vous remercie de m'avoir aidé.

Ben tu fais une synthèse de ce qu'on t'a fait pour la rédaction...