Collegiens- Les nombres réel

Salut tout le monde, cela faisait longtemps que je n'avais pas posté, car j'avais perdu le forum. Mais maintenant, je l'ai retrouvé donc ça va.

Pendant ses vacances, j'ai acheté un cahier de seconde où il y avait toute le programme de toute les matiéres.(Sauf MPI, RRAHH!)
Alors, je regarde en maths et je vois le diagramme de Venn. Dans l'expliquation, ils disent qu'au lycée on utilisera que des nombres réels. Cela veut donc dire qu'il y a d'autres nombres que les nombres réels. Ce sont pas les nombres imaginaires? Quelqu'un pourrait m'expliquer ce qu'ils sont?

et oui et on ne fait que découvrir l'immense univers des maths!! c'est vrai qu'on apprend l'existence de ces nombres qu'en terminale S mais ils sont tres utiles,et pas qu'en maths! en fait à la base ils servent à résoudre les équations du second degres. Si on n'utilise pas les complexes , il y a des équations du second degres qui n'ont pas de solutions... alors qu'avec les complexes on obtient deux solutions dans tous les cas!
c'est vrai que ça parait un peu abstrait, et c'est pas pour rien que les mathématiciens ont mis du temps à les accepter!

ici c'est pas mal expliqué:
http://www.schoolangels.be/math/cours/comp/comp.html

oui, bon, j'ai pas compris ce que tu m'as donné Sarah, mais merci quand même. En fait, ce sont des nombres qui sont utilisé pour pouvoir résoudre des équations.

oui c'est sur que tu ne dois pas trop en voir l'utilité pour le moment , retente l'année prochaine et tu véras ça ira beaucoup mieux!

Il y a même un niveau au dessus des complexes: les quaternions !
Alors là mes amis, il faut s'accrocher à ses bretelles pour cerner toute la puissance de ces petites bêtes.

Ceux qui connaissent les complexes savent que l'on a défini le nouveau nombre i tel que i² = -1.
Pour les quaternions, on va introduire 3 nombres avec des propriétés particulières, qui vont radicalement changer les habitudes de calculs:

on définit les nombre i j et k tels que
i² = -1
j² = -1
k² = -1
ij = k
jk = i
ki = j
kj = -i
ji = -k
ik = -j

Remarquez que la multiplication n'est plus commutative, en effet, ij est miantenant différent de ji

Pour ceux qui ont fait un peu de théorie des groupes, il s'agit là d'un groupe non commutatif. C'est le premier groupe non commutatif qui a été inventé par JeSaisPlusQui...

j'en avait vaguement entendu parler... ça m'a l'air fort simpatique!!!

C'est en quelle année qu'on voit cette notion? les quaternions?

Pour ceux qui savent ce qu'est un quotient d'ensembles.

1) On se donne l'ensemble des polynômes à coefficients réels avec leur addition et leur multiplication habituelle et on le quotiente par le polynôme x²+1. On obtient un ensemble isomorphe à l'ensemble des nombres complexes. En effet, on peut réprésenter les éléments de notre ensemble quotient par les polynômes réels de degré inférieur ou égal à 1 et le représentant du produit (ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd est alors (ad+bc)x+bd-ac. En remplaçant x par i, on voit clairement la structure particulière de la multiplication complexe.

2) On peut continuer de la sorte et construire les quaternions. On perd cependant la commutativité.

3) On peut encore continuer de la sorte même définir de la même façon un ensemble encore plus grand que les quaternions : les octaves de Kayley. Mais là, on perd l'associativité aussi, ce qui empêche d'aller plus loin et d'avoir une étape 4.

Pour les plus jeunes qui ne veulent vraiment pas attendre la terminale pour apprendre ce qu'est un nombre complexe.

La base des nombres complexes, c'est qu'on invente des nombres dont le carré est négatif. On décide de noter i un nombre tel que i²=-1. Ce nombre n'est bien entendu pas un nombre réel.

De façon générale, un nombre complexe sera un nombre qui s'écrit sous la forme a+bi où a et b sont des nombres réels. Par exemple 3+5i est un nomre complexe.

Formule d'attition des nombres complexes :
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Formule de multiplication des nombres complexes :
(a+bi).(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i


Exercices

1) Calculer la somme des nombres 3+5i et 4+ 2i.
2) Calculer leur produit.
3) Calculer la somme de leur carré.

Elfomiss a écrit:C'est en quelle année qu'on voit cette notion? les quaternions?

Tu peux très bien ne jamais la voir. Ils n'ont pas une grande utilité, contrairement aux nombres complexes qui sont très utiles. La raison principale de la différence d'utilité entre les nombres complexes et les quaternions est qu'un polynôme non constant à coefficients réels n'est pas toujours factorisable en un produit de polynômes de degré 1 à coefficients réels, alors qu'un polynôme non constant à coefficiants complexes est toujours factorisable en un produit de polynômes de degré 1 à coefficients complexes.

C'est en théorie des groupes et en géométrie que tu a le plus de chance de rencontrer les quaternions.

Pour les groupes, c'est assez logique, puisque les 8 nombres 1,-1,i,-i,j,-j,k,-k ont une structure de groupe pour la multiplication. Ce groupe n'est pas commutatif. L'ensembe de 4 éléments 1,i,j,k est quand à lui une base de l'espace vectoriel des quaternions sur le corps .

Pour la géométrie, c'est peut-être plus inatendu.
En fait, vous savez sans doute que, dans un plan, on peut représenter les rotations centrées à l'origine par des nombres complexes de module 1. Par exemple, pour faire une rotation de 90° centrée à l'origine, on multiplie par le nombre complexe i.
Ainsi le nombre 3+4i deviendra le nombre (3+4i)i=3i+4i²=-4+3i.
Et bien, on peut également représenter des rotations dans un espace de 4 dimensions par les nombres quaternions de modules 1.
À titre informatif, cela marche aussi pour les rotations dans un espace à 8 dimensions, grace aux octaves de Kayley.

Beau résumé ephemere...
Neanmoins je n'ai jamais compris à quoi pouvaient bien servir les octaves de Kayley. Les quaternions sont tout de meme bien implanté en théorie des groupe, bien que leur utilité en dehors est pratiquement nulle. Mais alors ce brol en 8 dimensions, ca sert vraiment à rien ^^
Ca me fait penser à tout ceux qui ont tenté de faire une meilleure intégrale que celle de Lebesgue, et qui se casse la tête pour arriver à des tucs 10 fois plus compliqués et qui ne sont pas utilisables ^^

Donc si tu connais une vraie utilité aux octave de Kayley, je suis très pressé de la connaitre !

Je ne connais aucune autre utilité que celle que j'ai cité avec la représentation des rotations d'un espace à 8 dimensions. Mais il y en a peut-être.

Oui mais les rotations d'espaces en n dimensions se font très bien avec les matrices...
J'ai entendu dire qu'on utilisait les quaternion en informatique pour les rotations dans IR³, mais apres tout un quaternion ce n'est jamais qu'un nombre de IR^4, du moins il y a isomorphisme... c'est jsute la multiplication qui change de définition apres tout...

Les Maths ont vachement changé au Lycée depuis que je l'ai quitté

Quoi on voit les quaternion au Lycée maintenant ? de mon temps c'était au colège... Halàlà il n'y a plus de jeunesse... ^^

Et de mon temps, à l'école primmaire.

On faisait de l'humour, Earthquake.

Comme je l'ai dit précédamment, les quaternions sont une notion qu'on peut très bien ne jamais rencontrer au cours de ses études, même si on fait des études en maths, car ils n'ont pas un grand intérêt, contrairement aux nombres complexes dont on ne peut plus se passer dès qu'on veut trouver les n solutions d'un polynôme de degré n, ce qui est souvent utile en mathématique, notamment pour diagonaliser une matrice et pour résoudre des équations différencielles ou récurentes.

Donc, les quaternions sont rarement rencontrés, et comme nous parlons d'eux dans la partie réservée au lycée, Antares a fait de l'humour en disant que les maths ont drôlement changé depuis qu'il était au lycée, et le_duche et moi même avont surenchéris par rigolade. Mais je te rassure, c'est tout à fait normal si tu n'as jamais entendu parlé des quaternions avant maintenat. Et il n'y aurait rien d'anormal à ce que tu n'en entendes plus jamais parler.

il y a de grandes chances que tu rencontres ces petites bêtes avec cette fillière !

ok.