exponentielles

Bonjour, je suis en terminle S et j’ai besoin d’aide pour un exercice sur les exponentielles :

Soit la fonction f telle que f(x)=x+((e^x)/(e^x+1)) et soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal (o ;i ;j) d’unité graphique.

a. Déterminer la limite de f en – l’infini et en déduire la présence d’une asymptote oblique delta à Cf.
b. Déterminer la limite de f en + l’infini puis montrer que la droite D d’équation y= x + 1 est asymptote à Cf.
c. Montrer que Cf est entièrement situé dans la bande délimitée par delta et D.

2) Calculer f’(x).

Voilà, je pense avoir réussi la a et la b, je trouve delta a pour équation y = x. La limite en – l’infini est – l’infini et en + l’infini, je trouve + l’infini. Ensuite, je ne vois pas comment procéder pour la c. Et pour la 2, j’ai trouvé un résultat qui me semble étrange : 1. Etes-vous d’accord ?

Merci de m’aider.

Voilà, je pense avoir réussi la a et la b, je trouve delta a pour équation y = x. La limite en – l’infini est – l’infini et en + l’infini, je trouve + l’infini.

C'est correct.

Ensuite, je ne vois pas comment procéder pour la c.

Tu dis que pour tout nombre réel x,
on a les inégalités x<x+((e^x)/(e^x+1))<x+1
car on a les inégalités 0<(e^x)/(e^x+1)<1
car on a les inégalités 0<e^x<e^x+1.

Et pour la 2, j’ai trouvé un résultat qui me semble étrange : 1. Etes-vous d’accord ?

Faux. Les seules fonctions dont la dérivée est 1 sont de la forme x+C où C est une constante. Or, e^x/(e^x+1) n'est pas constante.

Il vient :
(x+((e^x)/(e^x+1)))'
=x'+(e^x/(e^x+1))'
=1+((e^x)'(e^x+1)-(e^x)(e^x+1)')/(e^x+1)²
=1+(e^x(e^x+1)-e^xe^x)/(e^x+1)²
=1+e^x/(e^x+1)².