Concours n°17

par **Julien** Dim 24 Avr 2005 - 16:45

Pour ce concours n°17, je vous lance une petite énigme :

Par combien de zéros se termine le nombre 100! (factorielle 100) ?

Pour indication, 100! = 100*99*98*97*...*3*2*1.

Envoyez-moi votre réponse par MP (message privé) accompagné d'une petite explication si possible...

Chaque personne trouvant la bonne réponse du premier coup se verra attribuée un gain de 30 points !
Au deuxième coup, 20 points et au troisième, 10 points.

Fin du concours prévue le 01/05/2005 à 12h00.

par **Julien** Dim 1 Mai 2005 - 10:07

La bonne réponse était 24 zéros. Bien joué à matthias qui l'a trouvé du premier coup et qui remporte par la même occasion 30 points. Voici son explication :

On a 10 multiples de 10. Quand on les divise par 10, 100 est encore multiple de 10.
Ca nous en fait déjà 11.
Ensuite, on compte les multiples de 5 non multiples de 10, il y en a 10. On rajoute 1 pour chaque multiple de 25, ce qui fait 13.
On a largement assez de 2 dans la décomposition pour compléter.

Donc en tout je dirais que 100! se termine par 24 zéros.

Benzène a également trouvé la bonne réponse en deux coups. Elle remporte ainsi 20 points.
Voici son explication un peu plus longue mais qui marche à tous les coups ! Lol

Alors je me suis amusée à faire des petits calculs :

1x2x3x4x5x6x7x8x9x10=3628800
11x12x13x14x15=360360
16x17x18x19x20=1860480
21x22x23x24x25=6375600
26x27x28x29x30=17100720
31x32x33x34x35=38955840
36x37x38x39x40=78960960
41x42x43x44x45=146611080
46x47x48x49x50=254251200
51x52x53x54x55=417451320
56x57x58x59x60=655381440
61x62x63x64x65=991186560
66x67x68x69x70=1452361680
71x72x73x74x75=2071126800
76x77x78x79x80=2884801920
81x82x83x84x85=3936182040
86x87x88x89x90=5273912160
91x92x93x94x95=6952862280
96x97x98x99x100=9034502400

Comme on le sait depuis la primaire, multiplier un nombre à x zéros par un nombre à y zéros reviens à multiplier ces chiffres en enlevant les zéros terminaux et en rajoutant à la fin x+y zéros. Donc 100! se termine par 24 zéros.

Pour information, la formule suivante donne le nombre de zéros qui terminent n! :
E[n/5] + E [n/5²] + … + E [n/5^p] tant que E[n/5^p] n'est pas nul.
E[n/5^p] signifie : partie entière de n/5^p.

Ainsi, pour 100!, on a : E[100/5] + E [100/25] + E[100/75] = 20 + 4 + 0 = 24 zéros !

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