Exercice de recherche niveau terminale
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Exercice de recherche niveau terminale
Salut !
Je sèche sur un exercice niveau terminale, qui se trouve à l'adresse suivante :
http://www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/docum/S_2005.pdf
Il s'agit du n°34.
C'est un exercice de recherche mais je ne sais pas par où commencer...
J'ai envie d'étudier la fonction b^(1/a) ou a^(1/b), mais je ne vois pas trop ce que je peux en tirer...
Auriez-vous une piste ?
Merci d'avance.
Je sèche sur un exercice niveau terminale, qui se trouve à l'adresse suivante :
http://www2.ac-lyon.fr/enseigne/math/docum/S_2005.pdf
Il s'agit du n°34.
C'est un exercice de recherche mais je ne sais pas par où commencer...
J'ai envie d'étudier la fonction b^(1/a) ou a^(1/b), mais je ne vois pas trop ce que je peux en tirer...
Auriez-vous une piste ?
Merci d'avance.
Julien- Administrateur
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Re: Exercice de recherche niveau terminale
Je pense que tu peux t'en sortir en étudiant uniquement x^(1/x)
c'est à dire exp[(1/x)ln(x)]
c'est à dire exp[(1/x)ln(x)]
matthias- Membre
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Re: Exercice de recherche niveau terminale
Soit f(x)=exp[(1/x)ln(x)] définie sur ]0;+oo[.
Alors, pour la dérivée, je trouve :
f'(x)={[1-ln(x)]/x²}exp[(1/x)ln(x)].
Soit 1-ln(x)=0. Vrai pour x=e.
Pour tout x appartenant à ]0;e], f'(x) est positive donc f est croissante sur cet intervalle.
Pour tout x appartenant à ]e;+oo[, f'(x) est négative donc f est décroissante sur cet intervalle.
Le maximum de la fonction est pour x=e et vaut :
f(e)=exp(1/e)
C'est bon jusque là ? Et maintenant, faut que je travaille sur les entiers, non ?
Je calcule les f(x) pour x entier naturel voisin de e, soit :
f(2)=exp[(1/2)ln(2)] = sqrt(2) ~= 1,414
f(3)=exp[(1/3)ln(3)] = racine cubique(3) ~= 1,442.
Le plus grand élément est donc pour x = 3.
Et maintenant, je fais quoi ?
Au fait, merci de m'avoir donné la piste, matthias...
Alors, pour la dérivée, je trouve :
f'(x)={[1-ln(x)]/x²}exp[(1/x)ln(x)].
Soit 1-ln(x)=0. Vrai pour x=e.
Pour tout x appartenant à ]0;e], f'(x) est positive donc f est croissante sur cet intervalle.
Pour tout x appartenant à ]e;+oo[, f'(x) est négative donc f est décroissante sur cet intervalle.
Le maximum de la fonction est pour x=e et vaut :
f(e)=exp(1/e)
C'est bon jusque là ? Et maintenant, faut que je travaille sur les entiers, non ?
Je calcule les f(x) pour x entier naturel voisin de e, soit :
f(2)=exp[(1/2)ln(2)] = sqrt(2) ~= 1,414
f(3)=exp[(1/3)ln(3)] = racine cubique(3) ~= 1,442.
Le plus grand élément est donc pour x = 3.
Et maintenant, je fais quoi ?
Au fait, merci de m'avoir donné la piste, matthias...
Julien- Administrateur
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Re: Exercice de recherche niveau terminale
Ca c'est bon.
Maintenant tu cherches le min de a^(1/b) et b^(1/a) suivant que a <= b ou l'inverse. Ensuite, suivant le cas, tu essaies de majorer par a^(1/a) ou b^(1/b).
Maintenant tu cherches le min de a^(1/b) et b^(1/a) suivant que a <= b ou l'inverse. Ensuite, suivant le cas, tu essaies de majorer par a^(1/a) ou b^(1/b).
matthias- Membre
- Nombre de messages : 923
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Date d'inscription : 23/03/2005
Re: Exercice de recherche niveau terminale
OK.matthias a écrit:Ca c'est bon.
Maintenant tu cherches le min de a^(1/b) et b^(1/a) suivant que a <= b ou l'inverse.
1 =< a < b <=> 1 >= 1/a > 1/b > 0
donc a^(1/b) < b^(1/a) car si 0 < x < y 1, alors m^x < m^y.
T'es d'accord ?
J'attends avant de faire la suite...
Julien- Administrateur
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Date d'inscription : 10/03/2005
Re: Exercice de recherche niveau terminale
Julien a écrit:
1 =< a < b <=> 1 >= 1/a > 1/b > 0
donc a^(1/b) < b^(1/a) car si 0 < x < y 1, alors m^x < m^y.
T'es d'accord ?
oui vu que m >= 1
matthias- Membre
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Re: Exercice de recherche niveau terminale
Oui, j'avais oublié de le dire.matthias a écrit:oui vu que m >= 1
Julien- Administrateur
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Re: Exercice de recherche niveau terminale
si tu ne veux pas t'embêter avec ça, tu peux peut le faire légèrement différemment:Julien a écrit:Oui, j'avais oublié de le dire.matthias a écrit:oui vu que m >= 1
a^(1/b) <= b^(1/a) <=>
a^a <= b^b (en mettant à la puissance ab, x^ab croissante car ab >= 0)
a <= b (en utilisant x^x croissante pour x>= 1)
matthias- Membre
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Date d'inscription : 23/03/2005
Re: Exercice de recherche niveau terminale
Ah oui, ce n'est pas mal, ça...
On peut même rajouter la stricte croissance car a et sont strictement positifs... il en est de même pour leur produit.
On peut même rajouter la stricte croissance car a et sont strictement positifs... il en est de même pour leur produit.
Julien- Administrateur
- Nombre de messages : 12291
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Points : 22509
Date d'inscription : 10/03/2005
Re: Exercice de recherche niveau terminale
je ne suis pas sûr que ce soit mieux.Julien a écrit:Ah oui, ce n'est pas mal, ça...
c'est à toi de voir ce qui te paraît le plus simple à rédiger de manière rigoureuse.
Je ne pense pas que la stricte croissance te soit très utile.Julien a écrit:On peut même rajouter la stricte croissance car a et sont strictement positifs... il en est de même pour leur produit.
Pour la suite, c'est très simple.
Tu as soit a<=b et le min=a^(1/b)
soit b<= a et le min=b^(1/a)
tu essaies de majorer le min par a^(1/a) ou b^(1/b) et tu conclues.
matthias- Membre
- Nombre de messages : 923
Points : 6986
Date d'inscription : 23/03/2005
Re: Exercice de recherche niveau terminale
Oui, le plus gros du travail a été fait... de toutes façons, c'était juste pour m'amuser.
La conclusion est facile à faire.
Merci beaucoup matthias !
La conclusion est facile à faire.
Merci beaucoup matthias !
Julien- Administrateur
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Localisation : Clermont-Ferrand
Profession / Etudes : Ingénieur
Points : 22509
Date d'inscription : 10/03/2005
Re: Exercice de recherche niveau terminale
J'ai pas tout lu (j'ai pas bcp de temps) ; il me semble qu'on peut faire la première partie comme ça :
X= b^(1/a)/a^(1/b)
donc,
x^(ab)=(b^b)/(a^a)
Il est clair que X^(ab)>1 ssi X>1 ssi b^(1/a)>a^(1/b).
Or, on "voit bien" (sinon l'étude d'une fonction simple le confirme !) que X^(ab)>1 ssi b>a.
Donc, b^(1/a)>a^(1/b) ssi b>a.
X= b^(1/a)/a^(1/b)
donc,
x^(ab)=(b^b)/(a^a)
Il est clair que X^(ab)>1 ssi X>1 ssi b^(1/a)>a^(1/b).
Or, on "voit bien" (sinon l'étude d'une fonction simple le confirme !) que X^(ab)>1 ssi b>a.
Donc, b^(1/a)>a^(1/b) ssi b>a.
troll- Membre
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Points : 6989
Date d'inscription : 20/03/2005
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