Formes quadratiques

Bonjour !

J'ai deux petites questions à propos des formes quadratiques :

1) Le produit de deux formes linéaires est bilinéaire. Comment le démontrer ?

2) Comment montrer que t(X)AX est une forme quadratique, t(X) étant la transposée de X ?

Revois bien la def de bilinéarité, ca devrait aller tout seul

pour le deux, pose de sindices i et j pour es matrice, et calcule explicitement le produit matriciel (sous forme d'une somme sur les indices de 1 à n) et tu verras, c'est pas trop compliqué !

OK pour la 1).

Pour la 2), si et , je trouve que
mais après, je ne sais pas quoi en faire...

J'ai deux autres questions :
3) Est-ce-que si on a un polynôme homogène à n variables de degré 2, on a toujours une forme quadratique associée ou ce n'est pas toujours vrai ?

4) Etant donnée une matrice symétrique réelle de rang 1, quelle est sa forme quadratique associée ?
Déjà, je pense que la matrice est forcément diagonale avec un seul terme sur cette diagonale. Du coup, sa forme quadratique associée serait un carré...

une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables
Comme tu as dans chaque terme de la somme un xi et un xj (avec eventuellement i=j), tu as bien un polynôme de degré deux à deux variable

Hummm au vu de la troisième question, il y a un truc qui va pas dans ce que je viens de te dire..
Quelle est ta définition de forme quadratique ?

Si ta matrice est de rang 1, cela signifie que chacune des lignes est un multiple de la première.
Si elle est diagonale, alors forcément, elle ne possède qu'un seul élément non nul sur la diagonale, mais tu pourrais très bien avoir la matrice

Ben on dit que Q est une forme quadratique s'il existe une forme bilinéaire q telle que Q(x)=q(x;x).

4) Ah oui ! J'avais oublié ce cas. J'ai donc trouvé pour la forme quadratique si la matrice ne comporte que des
termes c :

Bon ben pour la 2) on voit bien que tXAY est linéaire en chacun des X et Y, donc tXAX est quadratique !

pour la 3) qu'est ce qu'on entend par forme quadratique associée ?

Merci pour la 2).

3) Par forme quadratique associée, on entend forme appliquée au polynôme... c'est difficile à expliciter.

4) C'est bon ce que j'ai trouvé ?

Pour le 4) je n'ai pas poussé jusqu'au bout, vais esayer de le faire en live

supposons que l'on ait une matrice nxn symétrique et de rang 1.

Cette matrice est dans rang 1, donc il existe donc un vecteur et un vecteur , tels que la matrice soit


Cette matrice est symétrique, on a donc la relation

qui est en fait un système de équations à 2n inconnues.

Si l'un des est nul, alors
Ainsi, si est l'ensemble des i tels que , on a .
Ca doit surement se taduire facilement dans le calcul de la forme quadratique associée.


Si aucun des n'est nul, notre propriété peut s'écrire

C'est à dire

Notre matrice est donc déterminée par le choix des non nuls, et d'un quelconque.

A partir de ca, essaye de voir si tu peux arriver à qqch de bien... (tu m'excuse, c'est la partie chiante des calculs ^^)

Merci beaucoup pour ton aide le_duche !

J'ai à peu près suivi ton raisonnement et tes calculs, mais je ne vois pas trop comment poursuivre...

Déjà, pourquoi ?

Ensuite, et sont tous les deux des vecteurs ?

J'ai bien définit a et beta comme des vecteur (ils sont de longueur n)
et ensuite, tu as les aj = 0 pour tout j qui n'est pas dans I car

Si le beta n'est pas nul il faut que ce soit le a...

wep t'as raison, c'est pas clair mon truc, je vais pas dire que c'est faux, mais c'est pas complet...

ok je tiens mon erreur !
soit j dans I, alors on peut trouver i qui n'est pas dans I (sauf si tous les bi sont nuls, mais dans ce cas t'as la matrice nulle)
on sait donc que 0 = bjai
mais on a aussi bjai = biaj avec bi non nul, donc aj est nul.
Donc pour tout j dans I, aj est nul.

C'est donc là que j'ai mélangé mes idées

En fait, c'est plus simple que ca, si bi est nul alors il faut que ai soit nul aussi !

le_duche a écrit:
En fait, c'est plus simple que ca, si bi est nul alors il faut que ai soit nul aussi !

C'est grâce à la symétrie, donc on peut le dire directement ça...

Non tu ne peux pas l'affirmer directement, car tu pourrais avoir par exemple pour b4 = 0
b4a6 = b6a4
donc comme b4=0, b6a4 doit être égal à 0, mais il se pourrait bien que b6 soit aussi égal à 0, ce qui n'impliquerait pas que a4 soit nul...

Oui c'est vrai... j'ai voulu aller trop vite.

Mais c'est vrai que c'est avec l'argument de symétrie que j'établis ca...