Concours n°41

Marc est né un 10 janvier. Il a cinq filles et quatre garçons, tous espacés du même nombre d'années.
En 2001, la somme des carrés des âges de tous ses enfants sera égale au carré de l'âge de Marc. Quel est l'âge de Marc ?

ephemere a écrit:J'étais en vacances. Je vais le noter sur un papier pour le faire tout à l'heure.

Cunégonde a écrit:eh eh eh même une L a trouvé, si vous trouvez pas ...

Cunégonde a écrit:au pire, tu demande a ton ordinateurs, ils sont doués pour se genre de problèmes ...

ephemere a écrit:Dans mon raisonnement, tout se passe au moment où la somme des carrées des âges des enfants vaut le carré de l'âge du père.
Soit k le nombre d'année(s) d'espace entre deux enfants successifs. C'est un nombre entier naturel .
Soit m le nombre d'année(s) de l'enfant du milieu (le 5ème). Cest un nombre entier naturel.
Soit x l'âge du père. C'est un nombrde entier natuel strictement supérieur à m+4k.

L'égalité (m-4k)²+(m-3k)²+(m-2k)²+(m-k)²+m²+(m+k)²+(m+2k)²+(m+3k)²+(m+4k)²=x² se simplifie pour devenir 9m²+60k²=x².

Il est alors évident que x² est un multiple de 3, car ce nombre est égale à 9m²+60k² qui est divisible par 3. Dans ce cas, x est nécessairement un multiple de 3 et alors k aussi.

Je pose y=x/3 et l=k/3. L'équation devient 9m²+540l²=9y². Elle se simplifie pour devenir m²=60l²+y² ou encore 60l²=(m-y)(m+y). Les nombres m-y et m+y diffèrent d'un nombre pair (2y) et sont donc de même parité. Donc, ils sont tous les deux pairs car leur produit vaut 60l² qui est pair. Je pose 2a=m-y et 2b=m+y. Il faut résoudre l'équation 4ab=60l² ou encore ab=15l² où, bien sûr, les nombres a et b sont des entiers naturels tels que a<b.

Là, il y a de nombreux cas à traiter. Pour ne pas coppliquer inutilement la solution en décrivant l sous la forme d'un produit de puissance de nombre premier, je vais traiter le cas l=1 directement (*). Cela conduit à ab=15. Donc, deux cas possible:
1)a=1 et b=15
2)a=3 et b=5

Le premier cas conduit à y=16 et m=14, et donc à x=48 et k=3.

Les enfants ont 2,5,8,11,14,17,20,23 ét 26 ans et le père à 48 ans, en 2001. Reste à vérifier la solution et à compter le nombre d'année depuis 2001 et c'est dans la poche.

Le cas 2) ne conduit pas une solution (car certain age sont négatifs).

(*) pour l grand, le père serait trop vieux. Il y a donc très peu d'autre cas à traiter.