Récurrence

Bonjour,

est-ce-qu'on pourrait m'expliquer le principe de récurrence svp ???
Dans mon cours ou mon livre, je n'arrive pas à bien voir les différentes étapes.
Et pourriez vous (si possible) me donner un exemple pour chaque étape parce que c'est obscur pour moi !!

J'espère que j'aurais une réponse, ce forum a l'air si bien !

Salut!

Alors je vais essayer de t'expliquer tout ça comme ma prof de maths nous l'a pédagogiquement expliqué.

Réflexion :

Dans une file de cent voitures si une voiture est rouge
la suivante est rouge. Si une voiture est rouge quelle est la couleur de la
suivante? Et si une voiture est verte que peut-on en conclure (pour la voiture
suivante et précédente) ?

Peut-on savoir combien il y a de voitures rouges
(exactement, au plus, ou au moins)?

Si la trentième voiture est rouge ?
Si la trentième voiture est verte ?
Si la n^ième est rouge (verte) ?

Ce raisonnement est le raisonnement par récurrence

Théorie :

On a une relation R (ou égalité) qu’on doit vérifier pour
tout n appartenant aux naturels.


D’abord, tu vérifies si ta relation R est vraie au
premier rang (n=0 dans la plupart des cas)
Ensuite, tu supposes que la relation qu’on souhaite
démontrer est vraie pour un rang n donné, pour que tu puisses montrer qu’au
rang suivant (n+1) (donc la relation s’écrirait R (n+1)) la relation est vraie
aussi (il faut écrire tout ça) : pour cela, tu développes la relation en remplaçant
n par (n+1).

Si tu arrives à prouver ces deux choses, on a :
La relation au premier rang est vraie
Elle est héréditaire (elle est vraie pour n+1)
Donc la relation est vraie pour tout n.

Ces 3 dernières lignes sont essentielles pour conclure ta démonstration.

Pratique (exemple de spécialité Maths)

Soit n
On souhaite démontrer par récurrence que 3ⁿ⁺⁵ -3ⁿ est un
multiple de 11.

Cette relation peut aussi s’écrire : 3ⁿ⁺⁵ -3ⁿ = k*11 avec k

Continue l’exercice avec la démonstration par récurrence pour voir si tu as compris le
principe (ne t’inquiète pas, j’essayerai de t’aider si tu bloques ^_^)

Tu verras, quand tu auras compris, tu trouveras ça facile !

Ce post me donne l'idée de créer un post où on pourrait recenser les méthodes comme celles-ci après avoir été vérifiées...

Merci beaucoup à toi !

Je commence par le rang 0 :
3^5-1=242 et c'est bien un multiple de 11 car 4=2+2.

Et après, je la suppose vraie pour quel n ?

Oui, pour n=0 c’est bon !
Par contre, tu ne vas pas dire "on va tester avec n+1=3 puis voir au rang
suivant si c'est aussi vrai": sinon tu aurais juste prouvé que lorsque
n+1=3 la formule est un multiple de 11, et non pour tout n.

Mais il faut faire attention:
tu ne dois absolument pas dire « on suppose que pour tout n la formule est un multiple de 11»,
sinon tu n’aurais plus rien à démontrer vu que tu dis que c'est déjà vrai pour tout n.
Il faut plutôt dire « on suppose que la formule (3ⁿ⁺⁵ -3ⁿ = 11k) est vraie pour un rang n donné ».

Donc il faut juste utiliser n, sans lui attribuer une valeur fixe,
et voir au rang suivant n+1 si 3^(n+1)+5 -3⁽ⁿ⁺¹⁾ est un multiple de 11.

Tu devras développer ton calcul sachant que tu te bases sur l'hypothèse: 3ⁿ⁺⁵ -3ⁿ = 11k
(en gros tu remplaces n par n+1, et tu transformes ton calcul de telle sorte
que tu puisses y insérer 11k grâce à l'hypothèse de départ, pour voir si c'est un multiple de 11).

D'accord, je comprends mieux à présent !!!

Supposons que pour un certain n, on ait 3ⁿ⁺⁵ -3ⁿ = 11k.
Au rang n+1, ça donne 3ⁿ⁺¹⁺⁵ -3ⁿ⁺¹ = 3*(3ⁿ⁺⁵ -3ⁿ) = 3k*11=11*k'

Donc ça reste un multiple de 11.

C'est bon ?

Voilà!!
Maintenant il te reste juste à conclure,
pour que ton prof sache que tu as compris le raisonnement.

Merci infiniment ! Grâce à tes explications, j'ai carrément tout compris !!! C'est simple en fait !

Mais il n'y a pas de quoi! Ça m'a vraiment fait plaisir ^_^ !!!

Julien a écrit:Ce post me donne l'idée de créer un post où on pourrait recenser les méthodes comme celles-ci après avoir été vérifiées...

Oui je trouve ça pas mal! Ça pourrait être utile pour réviser le BAC
par exemple (en fait le plus important au bac de maths c'est de savoir
maîtriser ce genre de méthodes). Mais si ce post devait se créer, il
faudrait expliquer vraiment tout dans les détails; comme ça, ceux qui
n'ont pas encore vu ces méthodes pourraient aussi les apprendre (en
fait j'ai vraiment envie d'apprendre plein de méthodes qui ne sont pas
forcément au programme de TS).

Donc je te soutiens totalement ^_^

Très bien ! Faut trouver des gens motivés pour en écrire et pour relire aussi !

On peut partir de celle-là en corrigeant si c'est nécessaire... Faut que j'ouvre un post spécial.