DM Barycentre ( 4 exos ) Objectif: rédaction

Exercice n°1:

ABCD est un parallélogramme.
Déterminer trois réels a,b et c tels que D soit le barycentre de:
(A;a) (B;b) (C;c).

J aime pas quand il n y a pas de chiffres ^^ On peut m aider ?

Exercice n°2:

Dans le triangle ABC, les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [IC].Le point K est définit par Vec tAK= (2/3) Vect AC.

Exprimer Vect AJ en fonction de Vect AK et AB.

Démontrer que le points B,J et K sont alignés.
C est tout simple mais je comprends pas ...

Exercice n°3:

1)Construire un triangle ABC tel que AC= 12cm, BA=10cm et CB=8cm
Placer le point G barycentre de (A;1), (b;2), (C;1).

2)Déterminer et représenter le lieu géométrique des points M tels que:
||Vect MA + 2 Vect MB + Vect MC ||= AC

3)Soit E le lieu géométrique des points N tels que:
||Vect NA + Vect NB + Vect NC ||=|| Vect BA + Vect BC ||

a) Monter que le point B appartient a E
b) Déterminer et représenter E

4) Déterminer et représenter le lieu géométrique des points P tels que:
|| Vect PA + Vect PB + Vect PC || =3 Vect PA + Vect PC ||

Exercice n°4:

On verra apres ça ^^

J essaye de commencer tout seul pour l exo 3 je vous tiens au jus de mes réponses

Exercice 1 :
écris la définition d'un barycentre et simplifies ton expression. Pour cela, tu peux t'aider d'un schéma.

α + b
+ c = ( D=G)
α + β + γ =
α + β( + ) + γ( + ) =
(α + β + γ) + β + γ =
(α + β + γ) = β + γ
= +



OU
= + ,
on en déduit que - + =
D est le barycentre de (A, 1) ; (B, -1) et (C, 1).

OU
O centre du parallélogramme 2 = ;
2 - = ; D est le barycentre de (O, 2) et (B, -1) ;
O est l'isobarycentre de (A, 1) et (C, 1) : 2 = + (médiane du triangle ADC).


Je pense avoir bon la ?

Oui je me suis compliqué pour rien. Le mieux, c'est après ton 2° OU, c'est le plus rapide.

Exo 2 :
(Il s'agit de vecteurs bien sûr) Dans AJ, commences par injecter le point I. Tu vas ainsi obtenir du IJ que tu vas à son tour exprimer en fonction de IC. Ensuite, tu exprimes IC avec IA et AC et tu trouves le résultat final en fonction de AB et AC.

Euu je veux bien mais c est AJ en fonction de AK et AB :s ^^

Oui mais AK et AC sont très liés !

Oué bon je te l'accorde Vect AK = 2/3 Vect AC c est bien ça ?

Noova a écrit:Oué bon je te l'accorde Vect AK = 2/3 Vect AC c est bien ça ?

Ben oui vu que c'est ce qui est donné par l'énoncé !

Tu trouves quoi alors avec mes indications ?

EUU recommençons:

Dans AJ, commences par injecter le point I. Tu vas ainsi obtenir du IJ que tu vas à son tour exprimer en fonction de IC.

AJ= AI + IJ = AI + 2IC ?

Moi j'ai plutôt AJ= AI + IJ = AI + IC/2...

Eu oui n importe quoi ... Ou avais-je la tête.
AJ= AI + 1/2 IC

Ensuite : tu exprimes IC avec IA et AC et tu trouves le résultat final en fonction de AB et AC.

IC= IA + AC et ? =/ enfin je crois que je vois le truc mais c est pas bien clair.

1/2 AI + 3/4 AK ?

Oui : IC= IA + AC
donc AJ= 1/2 AI + 1/2AC = 1/4 AB + 3/4 AK. Voilà... t'es d'accord ?

Bon... pour terminer l'exo 2, dans AJ = 1/4 AB + 3/4 AK, tun injectes B dans AJ et AK par exemple et tu simplifies. Tu devrais trouver une relation de colinéarité entre BJ et BK donc B, J et K sont alignés.

J'attends tes réponses pour l'exo 3.

Julien a écrit: dans AJ = 1/4 AB + 3/4 AK, tu injectes B dans AJ et AK par exemple et tu simplifies. Tu devrais trouver une relation de colinéarité entre BJ et BK donc B, J et K sont alignés.

Injecter B dans AJ et AK donc :

AJ= AB + BJ et AK= AB + BK euu normalement c est ça... Je sais plus trop comment faire pour simplifier tout ça :s

EXO 3:

1) placer le barycentre G de ( A;1) ( B;2 ) ( C;1)

Vect AG + 2 Vect BG + Vect GC = Vect nul si et seulement si ( 1+2+1 )Vect GA + 2Vect AB + Vect AC = Vect nul

Soit Vect AG = 1/2 Vect AB + 1/4 Vect AC

2) Determiner et representer le lieu Géo des points M tels que:
|| Vect AM +2 Vect MB + Vect MC ||= AC

M Vect AM + 2 Vect MB + Vect MC = 4MG
<=> ||4 Vect MG ||= Vect AC
<=> 4MG = AC J ai un pb de rédaction pour la détermination de lieux géométrique.

Le lieu serait un cercle de centre G et de rayon 4AC ? c est pas un peu grand ? Je crois bien que si ...

Oui mais maintenant, il te faut remplacer AJ= AB + BJ et AK= AB + BK dans AJ = 1/4 AB + 3/4 AK puis simplifier !

Julien a écrit:il te faut remplacer AJ= AB + BJ et AK= AB + BK dans AJ = 1/4 AB + 3/4 AK puis simplifier !

Jeee comment dire...Toutes ces lettres ça m énervent ^^.

Je suis a deux doigts de trouver la solution maisssss.


Je sais pas par quoi remplacer quelles lettres il faut mettre avec quels coefficients etc.
J ai beau chercher je vois pas comment faire .

Je peux rien dire de plus si ce n'est te donner la solution...

Tu as AJ = 1/4 AB + 3/4 AK.
Tu remplaces AJ par AB + BJ et AK par AB + BK.

Ecris le et tu verras bien ce qu'il se passe !

O je t en voudrais pas si tu me donnes la soluce :p

Donc :

AB + BJ + 4/3 AB + 4/3 BK ? =D

Comme AJ = 1/4 AB + 3/4 AK = AB + BJ

Et AK = AB + BK donc 3/4 AK = 4/3 AB + 4/3 BK ?

Mais AJ = 1/4 AB + 3/4 AK = AB + BJ ?

Noova a écrit:O je t en voudrais pas si tu me donnes la soluce :p

Ce n'est pas le but. Je ne veux pas te dire comment mener 2 lignes de calcul simplistes. A la fin, tu dois trouver BJ=kBK. A toi de trouver ce que vaut k.

Message reçu.

BJ= 4/3 BK ?

Car AB + BJ = 1/4 AB + 4/3 AB + 4/3 BK on simplifie et hop.

De tête il me semblait avoir trouvé 3/4... mais bon, tu as compris le principe, c'est l'essentiel ! Il faut que tu saches bien faire ce genre de calcul, c'est important.

Et n'oublie pas la conclusion.

Pour l'exo 3
1) On te demande de placer le point G donc tu n'as pas besoin de faire de calcul. Où se trouve le barycentre de {(A;1)(C;1)} ?

Rq : je t'avais déjà dit de séparer tes exercices en plusieurs topics. Parce que là, c'est pas évident de s'y retrouver...

J ai compris oui mais je referais des exos. ( 4/3 BK est tout seul donc il ne devrait pas bouger )

EXO 3:
1) Construire un triangle ABC tel que AC= 12cm, BA=10cm et CB=8cm placer le barycentre G de ( A;1) ( B;2 ) ( C;1)

Vect AG + 2 Vect BG + Vect GC = Vect nul si et seulement si ( 1+2+1 )Vect GA + 2Vect AB + Vect AC = Vect nul

Soit Vect AG = 1/2 Vect AB + 1/4 Vect AC

Okey Okey le prochain exo je fais un nouveau topic;)

Mais je viens de te dire de ne pas faire de calcul pour cette question !

Et réponds à ça d'abord : où se trouve le barycentre de {(A;1)(C;1)} ?

... Et ba le barycentre de (A;1) (C;1) est Vect AG = 1/2 AC

Si tu veux, mais ça veut dire que ton point G se situe où sur ta figure ?

Au milieu du segment AC bien entendu.

Voilà. Et maintenant, tu places le barycentre de A, B et C en utilisant le barycentre partiel.

Ouais ba ça va bien plus vite de calculer le barycentre de trois points pondérés comme je l ai fais parce que le barycentre partiel je suis pas le meilleur.

Bon avec le partiel:

GA + 2GB + GC = Vecteur nul

Soit J Barycentre de (A;1) (C;1)

Donc : 2GB + 2GJ = Vect nul et apres ?

Et non, ça va beaucoup plus vite avec le barycentre partiel...

Propriété du barycentre partiel :
Soit G le barycentre du système {(A, a); (B, b); (C, c)}.
Supposons que a+c est différent de 0 et notons H le barycentre de {(A, a); (C, c)}.
Alors G est le barycentre de {(H, a+c); (B, b)}


A toi de t'en servir avec l'énoncé. (Je suis gentil, tu n'as plus qu'à remplacer car j'ai écris la propriété avec le barycentre partiel de A et C).

Julien a écrit:Et non, ça va beaucoup plus vite avec le barycentre partiel...

Propriété du barycentre partiel :
Soit G le barycentre du système {(A, a); (B, b); (C, c)}.
Supposons que a+c est différent de 0 et notons H le barycentre de {(A, a); (C, c)}.
Alors G est le barycentre de {(H, a+c); (B, b)}


A toi de t'en servir avec l'énoncé. (Je suis gentil, tu n'as plus qu'à remplacer car j'ai écris la propriété avec le barycentre partiel de A et C).

ET bé G barycentre de (H;2) ( B;2 ) ?

Oui donc ??? Essaie d'avancer sans que je sois derrière toi pour chaque étape de raisonnement sinon ça ne t'est pas profitable...

Et ba si G barycentre de (H;2) ( B;2) et bien Vect HG = 1/2 HB

Apres:

2) J ai besoin d un coup de pouce parce que les lieux géométriques on en a parler en cours mais juste comme ça donc pas de formules rien.
Ou si on pouvait faire cette question la ensemble pour que je fasse les autres ensuite.

Noova a écrit:Et ba si G barycentre de (H;2) ( B;2) et bien Vect HG = 1/2 HB

Donc G est le mileu de [BH] !!! Va jusqu'au bout ! Tu vois bien qu'avec les barycentres partiels, ça se fait sans aucun calcul et c'est très rapide !

Pour la question 2 :
Déterminer et représenter le lieu géométrique des points M tels que:
||Vect MA + 2 Vect MB + Vect MC ||= AC

L'idée, c'est d'injecter le point G dans chaque vecteur du membre de droite. Ensuite, tu simplifies grâce à la définition du barycentre et du trouves une relation intéressante.

A partir de maintenant, je ne te guide plus autant (par manque de temps et parce qu'il faut que tu cherches un peu). Donc ne répond pas au bout de 2 minutes, réfléchis et postes une réponse assez poussée !

2) J ai réussi a écrire quelque chose, j ai pris exemple sur un autre exo sur le net;

|| MA + 2MB + MC ||= AC
<=> || 4MG || = AC
<=> MG= 1/4 AC et donc le lieu géométrique serait le cercle de centre G et de rayon 1/4 AC
Je peux pas faire plus pousser que ça.

3) Dans ce cas la ou || NA + 2NB + NC || = || BA + BC || On me remplace une longeur ( AC par exemple dans la question 2 ) par une somme de vecteurs ce qu n est pas la meme chose.

Comment montrer qu un point B ppartient bien au lieu Géo E ? Et si oui comment le determiner sur fameux E ?

On remplace N par B ?

NA+2NB+NC devient BA+2BB+BC= BA+BC
Donc B a E.


NA+2NB+NC=NG+GA+2NG+2GB+NG+GC= 4NG ce qui donne NG = (BA+BA ) / 4

4) ||+2PB+PC||=||3PA+PC||
Donc ça serait
PG+GA+2PG+2GB+PG+GC=
4PG
Donc ||PG||=(||3PA+PC||)/4

Ensuite je trace et c est fini. Merci de ton aide Julien et de ta patience surtout parce qu'avec moi ^^

Ben voilà tu vois que tu peux aller plus loin ! Pour finir la question 2, AC est une longueur qui vaut... donc le lieu géométrique est le cercle de centre G et de rayon ?
(Tu sais comment tu passes de la 1° à la 2° ligne au moins ?

Et pour la 3)a), remplace N par B et vérifie que tu as bien une égalité.

J'arrête de t'aider pour cet exercice. Je n'ai pas beaucoup de temps ce soir et tu dois essayer de le finir tout seul.

Si tu postes ton 4° exo, n'oublie pas de créer un nouveau topic !

Julien a écrit:Ben voilà tu vois que tu peux aller plus loin ! Pour finir la question 2, AC est une longueur qui vaut... donc le lieu géométrique est le cercle de centre G et de rayon ?
(Tu sais comment tu passes de la 1° à la 2° ligne au moins ?

AC de longeur 12 cm donc 1/4 AC = 3 facile ^^cercle de centre g de rayon 3 cm

Et pour passer de la 1 ere a la 2 eme ligne on emploie la propriété fondamentale =D

OK, je voulais voir que t'avais bien compris.