problème arithmétique

Bonjour je souhaiterai obtenir votre aide sur ce problème.

La production annuelle d'une entreprise est en progression arithmétique et atteint 14 000 exemplaires la septième année.La production totale des sept premières années a été de 66 500 exemplaires.

1.Calculez la production de la première année et la raison r de la progression.
.J'ai trouvé comme premier terme U0=5000 et comme raison r 1500.Est-ce correct?

2.On suppose que la politique de l'entreprise ne change pas.Au bout de combien d'années la production totale atteindra-t-elle 150 000 exemplaires?
.C'est là que je suis bloqué.

3.Si la politique avait été en partant de la même production la première année,d'augmenter tous les ans la production de 15%,l'entreprise atteindrait-elle 150 000 exemplaires plus rapidement?

Merci à vous

Bonjour,

je suis d'accord pour la 1. Tu as donc une suite Un=U0+n*r avec U0=5000 et r=1500.

Pour la 2., c'est toujours la même suite arithmétique. Tu veux la production totale, c'est donc la somme des termes de ta suite arithmétique qu'il te faut utiliser, soit :
150 000=n*(U0+Un-1)/2. A toi d'exprimer le terme Un-1 en fonction de n et de résoudre cette équation !

Merci mais je ne vois pas comment exprimer Un-1 en fonction de n alors que je ne connais pas le nombre de termes...

j'ai fait ça en utlisant un polynôme du second et j'ai trouvé en x1 =11.6 correspondant donc à n=11.6 ,x2 est négatif.Est-ce correct?

Je trouve aussi 11,6. Comment as-tu trouvé ton polynôme ?

Sinon, Un=U0+n*r donc Un-1=... ?

On sait que Un-1=U0 + (n-1)r avec U0=5000
donc Un-1=5000 + 1500 n - 1500

S= n*(8500 + 1500n)/2 avec S= 150 000

8500n + 1500n² = 300 000
1500n² + 8500 n -300 000 = 0

donc 15 n² + 85n - 30000 = 0
Voci le polynôme

Y'a t'il plus simple?Et comment dois-je procéder pour la dernière question?

Merci à toi

C'est exactement ce que je t'indiquais de faire ! lol

Pour la 3° question, ça ne te fait pas penser à une suite que tu connais bien... (sachant que la suite arithmétique, c'était pour le premier modèle) ?

Je pensais à une suite géométrique?

Je voulais juste revenir sur la 2 pour en conclure qu'il faudra 4,6 ans soit un peu moins de 5 ans pour que la production totale atteint 150 000 exemplaires (puisqu'on ne compte pas les 7 premières années non?)

Oui pour la 2.

3. Oui c'est ça ! Maintenant, quelle est la raison de cette suite géométrique ?

Je pensais à une raison q = 0.15 non?

1,15 plutôt.

Oupss ^^!Que dois-je calculer après?Merci

Et bien tu calcules les premiers termes de la suite jusqu'à trouver au moins 150 000 exemplaires. (ou tu résous directement l'équation)

Merci beaucoup!J'ai calculé les premiers termes et j'ai vu qu'il fallait beaucoup plus d'années pour atteindre 150 000 exemplaires en utilisation l'augmentation de 15% qu'avec l'autre méthode.(je n'ai pas compris l'équation que tu voulais faire,c'est pourquoi j'ai pris cette méthode)

Tu n'as pas oublié de faire la somme de tes premiers termes à chaque fois au moins !

Sinon, l'équation, c'était 150 000=somme des premiers termes de la suite géométrique.

Ah oui,merci!Donc j'ai additionné les 12 premiers termes et j'ai donc trouvé une somme supérieure au 12 premiers termes de la suite arithmétique.Donc sa signifie que la suite géométrique est plus rapide que la suite arithémtique non?

Aie ! Alors là, il te faut regarder aux alentours de 11,6 en fait. C'est entre 11 et 12 que la géométrique devient plus intéressante d'après tes calculs. Mais où exactement ?

Donc il vaut mieux que tu résolves l'équation : 150 000=V0*(1-q^(n+1))/(1-q) où V0 est le premier terme de ta suite géométrique et q la raison.

oui j'ai compris mais le problème c'est que je n'arrive pas à sortir n pour pouvoir le calculer.Pourrais-tu m'expliquer?

Merci

OK. Donc tu dois résoudre 150 000=5000*(1-1,15^(n+1))/(1-1.15).
Il te faut extraire le n donc commence par essayer de l'isoler au maximum et pour le faire "tomber" de l'exposant, il te faut passer par le log.

le probleme est que je n'ai pas encore appris le log...

Ah bon ? Alors tu ne dois pas utiliser cette méthode... Laisse comme t'as fait, ça ira je pense.

Ok merci a toi en tout cas

De rien.