Exo : pb d optimisation

Bonjour bonjour je coince sur un exo tout bête je sais je sais ...

Pour aménager un parc, on dispose de sphères de rayon 6 dm. A l'intérieur on veut placer des poubelles de forme cylindrique. On suppose qu'une poubelle a pour hauteur 2h et pour rayon r ( en dm ). On cherche a déterminer la hauteur du cylindre pour obtenir une poubelle de volume maximale.

1/a) Exprimer r en fonction de h.( r= 2 h ? )
b) Démontrer que le volume V du cylindre en dm^3peut s'écrire sous la forme V(h)=2 (-h^3 + 36h ) ( je dois surement me servir du volume de la sphère mais pour en faire quoi ? =/)

2/a) Déterminer la hauteur du cylindre pour laquelle le volume de la poubelle est maximale. (Help me please !)
b)Déterminer la valeur exact de ce volume en dm^3.
c) Donner l'arrondi à l'unité de ce volume.

Forcément en ayant pas vu cette notion d optimisation d'espace dans le cours je bloque logiquement sur l'exercice.

Salut,

Attention de ne pas tout mélanger dans l'énoncé...

1.a) Il te faut appliquer Pythagore dans le triangle formé par un rayon de la base du cylindre, la demi-hauteur du cylindre et le rayon de la sphère correspondant. Si tu ne vois pas, j'essaierai d'expliciter.
2.b) C'est quoi le volume d'un cylindre ? (Tu dois te servir du résultat de la question 1.a))

Pour la suite, on verra après.

Je suis pas bien sur de comprendre; je dois me servir d un rayon de la sphère = a 6dm et mon rayon de poubelle = a r c'est ça ? et ça forme un triangle rectangle ?

Autant pour moi j ai trouvé ^^ donc soit r le rayon du cylindre h la hauteur du demi cylindre et R le rayon de la sphère donc dans le triangle rectangle ainsi formé : R²= r² + h² <=> r² = R²-h² ?? That's correct ?

Après je dois surement pouvoir reporter cette expression dans la formule du volume du cylindre ?

Sachant que Vcylindre = r²h = R²-h²h = R²-h^3 mais V(h) je fais comment ?

Oui c'est ça ! Et R²=6² d'où le 36...

Vdemi-cylindre, tu l'as en fonction de h donc c'est bon. V(h)= (36h-h^3)

Et là, c'est juste pour le cylindre de hauteur h or le tien est deux fois plus grand donc finalement, V(h)=2*(36h-h^3) .
T'es d'accord ?


Maintenant, pour la question 2, c'est l'étude de V(h). Donc sens de variations, dérivation...

Et y a moyen de remplacer h par x ? pour rentrer la formule dans la calculatrice ?

Oui bien sûr !

A bon ba très bien alors. C est le majorant local qui déterminera le volume maximal de ma poubelle ? x)

C'est le majorant sur [0;12] puisque h [0;12].

A ouii parce que le rayon est de 6 donc le diamètre est de 12 dm et comme toujours la poubelle dot rentrer dans ces 12dm de diamètre le majorant doit être compris dans cette interval [0;12]

Exactement !