utilisation de l'inégalité triangulaire

bonjour,
j'aimerai que vous me disiez comment s'emploie l'inégalité triangulaire dans cet exo:

|u|+|v| |u+v|+|u-v|

Moi j'ai pensé à faire |u+v| |u|+|v| mais après je ne voit pas comment continuer donc je pense que ma démarche est mauvaise

Merci de votre aide

Bonjour,

il faut peut-êter plutôt partir en calculant |u+v+u-v| pour faire apparaître le 2° terme de l'inégalité.

mais ce que tu as écrit fait |2u|

Oui, mais si tu prends t, le min de |u| et |v| (car l'inégalité reste vraie si t'échanges les rôles de u et v), tu as 2t |u|+|v|...

|U+V|=|u+(-u/2+v)| |u|
|u-v|=|v+(-2v+u)| |v|

Est ce bon si j'écris cela et ensuite en sommant on obtient ce qu'on veut

|U+V|=|u+(-u/2+v)| est faux.
Idem pour la deuxième ligne.

d'accord mais je ne vois pas trop quoi faire avec ton minimun

Partons de |u|+|v|.

Soit |u| est plus petit que |v|, soit c'est l'inverse.
Imaginons que ça soit |v| le plus petit.

On a alors |u|+|v| |u|+|u|

or |u|+|u|=|2u|=|u+v+u-v| et tu arrives directement à la fin.

T'es d'accord avec ça ?

oui

Donc c'est bon ? L'exo est résolu ?

Ou allors u=V.
|u|+|u| |u+u|+|u-u|
2|u| |2u|+|0|
et là y a un problème !

oui mais c'est |u+v|+|u-v| et non |u+v+u-v|

oui mais c'était inférieur ou égal

Ok là ça fonctionne !

Alors c'est pas clair.

Déjà, si u=v, c'est trivial. Il suffit de remplacer dans l'énoncé et on obtient |u|+|u| <= |u+u|+|u-u| soit 2|u| <= |2u| ce qui est vrai.


Ensuite, je termine ma démo :

Julien a écrit:Partons de |u|+|v|.

Soit |u| est plus petit que |v|, soit c'est l'inverse.
Imaginons que ça soit |v| le plus petit.

On a alors |u|+|v| |u|+|u|

or |u|+|u|=|2u|=|u+v+u-v| et tu arrives directement à la fin.

T'es d'accord avec ça ?

Là, ce que j'ai montré, c'est que |u|+|v| |u+v+u-v|. Maintenant, il n'y a plus qu'à utiliser l'inégalité triangulaire dans le deuxième terme pour aboutir à ce que l'on cherche :
|u+v+u-v| |u+v|+|u-v|.

Ainsi, |u|+|v| |u+v|+|u-v|. CQFD.

justement c'est là que je bloquer, comment marche l'inégalité triangulaire

Si tu es d'accord que |a+b| <= |a|+|b|, alors avec a=u+v et b = u-b, tu obtiens ce que tu veux.

ah oui exact j'ai pas fait gaffe merci

Oups j'avais pas vu que Julien avait rajouté le "ou égal" !